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          共50条信息

            • 1．
              已知\(S_{n}= \dfrac {1}{n+1}+ \dfrac {1}{n+2}+…+ \dfrac {1}{2n}\)，\(n∈N*\)，利用数学归纳法证明不等式\(S_{n} > \dfrac {13}{24}\)的过程中，从\(n=k\)到\(n=k+l(k∈N*)\)时，不等式的左边\(S_{k+1}=S_{k}+\) ______ ．
              难度：较难
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            • 2． 用数学归纳法证明：，n∈N*．
              难度：较难
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            • 3．
              用数学归纳法证明：\( \dfrac {1}{1\times 3}+ \dfrac {1}{3\times 5}+…+ \dfrac {1}{(2n-1)(2n+1)}= \dfrac {n}{2n+1}\)，\(n∈N^{*}\)．
              难度：较难
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            • 4．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=a\)，\(a_{n+1}= \dfrac {1}{2-a_{n}}(n∈N^{*}).\)
              \((1)\)求\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)；
              \((2)\)猜测数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式，并用数学归纳法证明．
              难度：较难
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            • 5．
              设\(i\)为虚数单位，\(n\)为正整数，\(θ∈[0,2π)\)．
              \((1)\)用数学归纳法证明：\((\cos θ+i\sin θ)^{n}=\cos nθ+i\sin nθ\)；
              \((2)\)已知\(z= \sqrt {3}-i\)，试利用\((1)\)的结论计算\(z^{10}\)．
              难度：较难
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            • 6．
              已知数列\(a_{n}\)满足\(a_{1}=1\)，且\(4a_{n+1}-a_{n}a_{n+1}+2a_{n}=9(n∈N^{*})\)
              \((1)\)求\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)的值；
              \((2)\)由\((1)\)猜想\(a_{n}\)的通项公式，并给出证明．
              难度：较难
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            • 7．
              用数学归纳法证明不等式“\(1+ \dfrac {1}{2}+ \dfrac {1}{3}+…+ \dfrac {1}{2^{n}-1} < n(n∈N^{*},n\geqslant 2)\)”时，由\(n=k(k\geqslant 2)\)不等式成立，推证\(n=k+1\)时，左边应增加的项数是\((\)　　\()\)
              A．\(2^{k-1}\)
              B．\(2^{k}-1\)
              C．\(2^{k}\)
              D．\(2^{k}+1\)
              难度：较难
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            • 8． 已知函数f（x）=ln（x+1）+mx，当x=0时，函数f（x）取得极大值．
              （1）求实数m的值；
              （2）已知结论：若函数f（x）=ln（x+1）+mx在区间（a，b）内导数都存在，且a＞-1，则存在x0∈（a，b），使得．试用这个结论证明：若-1＜x1＜x2，函数，则对任意x∈（x1，x2），都有f（x）＞g（x）；
              （3）已知正数λ1，λ2，…，λn，满足λ1+λ2+…+λn=1，求证：当n≥2，n∈N时，对任意大于-1，且互不相等的实数x1，x2，…，xn，都有f（λ1x1+λ2x2+…+λnxn）＞λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λnf（xn）．
              难度：较难
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            • 9． 记（1+）（1+）…（1+）的展开式中，x的系数为an，x2的系数为bn，其中n∈N*．
              （1）求an；
              （2）是否存在常数p，q（p＜q），使bn=（1+）（1+） 对n∈N*，n≥2恒成立？证明你的结论．
              难度：较难
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            • 10． 已知a1=（n∈N*）
              （1）求a2，a3，a4并由此猜想数列{an}的通项公式an的表达式；
              （2）用数学归纳法证明你的猜想．
              难度：较难
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