一种计算装置，有一数据入口\(A\)和一个运算出口\(B\)，按照某种运算程序：

\(①\)当从入口\(A\)输入自然数\(1\)时，从出口\(B\)得到\(\dfrac{{1}}{{3}}\)，记为\(f(1)=\dfrac{1}{3}\)；

\(②\)当从入口\(A\)输入自然数\(n(n\geqslant 2)\)时，在出口\(B\)得到的结果\(f(n)\)是前一个结果\(f(n-1)\)的\(\dfrac{{2}(n-{1})-{1}}{{2}(n-{1})+{3}}\)倍\(.\)

当从入口\(A\)分别输入自然数\(2\)，\(3\)，\(4\)时，从出口\(B\)分别得到什么结果？试猜想\(f(n)\)的表达式，并证明你的结论．

设数列\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(…\)，\(a_{n}\)，\(…\)中的每一项都不为\(0.\)求证\(\{a_{n}\}\)为等差数列的充分必要条件是：对任何\(n∈N^{*}\)，都有\(\dfrac{1}{{{a}_{1}}{{a}_{2}}}+\dfrac{1}{{{a}_{2}}{{a}_{3}}}+\ldots +\dfrac{1}{{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}}=\dfrac{n}{{{a}_{1}}{{a}_{n+1}}}\)

用数学归纳法证明“当\(n\)为正奇数时，\(x^{n}+y^{n}\)能被\(x+y\)整除”，第二步归纳假设应写成\((\)　　\()\)

用数学归纳法证明等式\((n+1)(n+2)…(n+n)=2^{n}·1·3·…·(2n-1)\)，第二步从\(n=k\)时到\(n=k+1\)时左端应增乘的代数式是  \((\)    \()\)

试用数学归纳法证明：\(n{∈}N{,}n{\geqslant }1{,}1{-}\dfrac{1}{2}{+}\dfrac{1}{3}{-}\dfrac{1}{4}{+⋯+}\dfrac{1}{2n{-}1}{-}\dfrac{1}{2n}{=}\dfrac{1}{n{+}1}{+}\dfrac{1}{n{+}2}{+⋯+}\dfrac{1}{2n}\)．

当\(n\in {{N}^{*}}\)时，\({{S}_{n}}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots +\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n}\) ，\({{T}_{n}}=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+3}+\cdots +\dfrac{1}{2n}\)．

\((\)Ⅰ\()\)求\({{S}_{1}}\)，\({{S}_{2}}\)，\({{T}_{1}}\)，\({{T}_{2}}\)；

\((\)Ⅱ\()\)猜想\({{S}_{n}}\)与\({{T}_{n}}\)的大小关系，并用数学归纳法证明．

用数学归纳法证明\(1+2+3+\cdots +{{n}^{2}}=\dfrac{{{n}^{4}}+{{n}^{2}}}{2},\)则当\(n=k+1\)时左端应在\(n=k\)的基础上加上

各项都为正数的数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}^{2}-a_{n}^{2}=2\)．

\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

\((2)\)求证：\(\dfrac{1}{{{a}_{1}}}+\dfrac{1}{{{a}_{2}}}+\cdots +\dfrac{1}{{{a}_{n}}}\leqslant \sqrt{2n-1}\)对一切\(n∈N^{*}\)恒成立．