知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的$200$辆汽车所用时间的频数如下表：

$($Ⅰ$)$为进行某项研究，从所用时间为$12$天的$60$辆汽车中随机抽取$6$辆．

$(ⅰ)$若用分层抽样的方法抽取，求从通过公路$1$和公路$2$的汽车中各抽取几辆？

$(ⅱ)$若从$(ⅰ)$的条件下抽取的$6$辆汽车中，再任意抽取两辆汽车，求这两辆汽车至少有一辆通过公路$1$的概率？

$($Ⅱ$)$假设汽车$A$只能在约定日期$($某月某日$)$的前$11$天出发，汽车$B$只能在约定日期的前$12$天出发$.$为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车$A$和汽车$B$应如何选择各自的路径？

难度：较难

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2．
“微信运动”已成为当下热门的运动方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的$40$人$($男、女各$20$人$)$，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：

附：${{K}^{2}}=\dfrac{n{{\left( ad-bc \right)}^{2}}}{\left( a+b \right)\left( c+d \right)\left( a+c \right)\left( b+d \right)},$

$(1)$已知某人一天的走路步数超过$8000$步被系统评定为“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的$2\times 2$列联表，并据此判断能否有$95\%$以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？

$(2)$为了了解不同行业人群的业余时间分配情况，从上述调查的懈怠型的人员中按性别分层抽样抽取$6$人，再从这$6$人中随机抽出$3$名进行电话回访，求$3$人中至少有$1$人是男性的概率．

难度：较难

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3．
为了解某班学生喜好体育运动是否与性别有关，对本班$50$人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

喜好体育运动

不喜好体育运动

合计

男生

______

$5$

______

女生

$10$

______

______

合计

______

______

$50$

已知按喜好体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为$10$的样本，则抽到喜好体育运动的人数为$6$．
$(1)$请将上面的列联表补充完整；
$(2)$能否在犯错概率不超过$0{.}01$的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明你的理由．
$($参考公式：$K^{2}{=}\dfrac{n({ad}{-}{bc})^{2}}{(a{+}c)(b{+}d)(a{+}b)(c{+}d)}(n{=}a{+}b{+}c{+}d)$
独立性检验临界值表：

$P(K^{2}{\geqslant }k_{0})$

$0{.}10$

$0{.}05$

$0{.}025$

$0{.}010$

$k_{0}$

$2{.}706$

$3{.}841$

$5{.}024$

$6{.}635$

难度：较难

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4．
某企业三月中旬生产$A$、$B$、$C$三种产品共$3000$件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：

产品类别 $A$ $B$ $C$

产品数量$($件$)$ $1300$

各层抽取件数 $130$

由于不小心，表格中$A$、$C$产品的有关数据已被污染看不清楚了，统计员只记得$A$产品的样本容量比$C$产品的样本容量多$10$，根据以上信息，可得$C$产品的数量是 ______ 件$.$

难度：较难

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5．将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的办法分成50个部分．如果第一部分编号为0001，0002，…，0020，从中随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为 ______ ．

难度：较难

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6．

为了了解海南省各景点在大众中的熟知度，随机对$15\sim 65$岁的人群抽样了人，回答问题“海南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表．

组号	分组	回答正确的人数	回答正确的人数占本组的频率
第 $1$ 组	$[15,25) $	$a$	$0.5$
第 $2$ 组	$[25,35) $	$18$	$x$
第 $3$ 组	$[35,45) $	$b$	$0.9$
第 $4$ 组	$[45,55) $	$9$	$0.36$
第 $5$ 组	$[55,65]$	$3$	$y$

$($Ⅰ$)$分别求出$a$，$b$，$x$，$y$的值；

$($Ⅱ$)$从第$2,3,4$组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取$6$人，求第$2,3,4$组每组各抽取多少人？

$($Ⅲ$)$根据频率分布直方图估算样本数据的平均数、众数、中位数；$($小数点后保留一位有效数字$)$

难度：较难

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7．
某市甲、乙两校高二级学生分别有$1100$人和$1000$人，为了解两校全体高二级学生期末统考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从这两所学校共抽取$105$名高二学生的数学成绩，并得到成绩频数分布表如下，规定考试成绩在$[120,150]$为优秀．

甲校：

分组

$[70,80)$

$[80,90)$

$[90,100)$

$[100,110)$

$[110,120)$

$[120,130)$

$[130,140)$

$[140,150)$

频数

$2$

$3$

$10$

$15$

$15$

$x$

$3$

$1$

乙校：

分组

$[70,80)$

$[80,90)$

$[90,100)$

$[100,110)$

$[110,120)$

$[120,130)$

$[130,140)$

$[140,150)$

频数

$1$

$2$

$9$

$8$

$10$

$10$

$y$

$3$

$(1)$求表中$x$与$y$的值；

$(2)$由以上统计数据完成下面$2x2$列联表，问是否有$99\%$的把握认为学生数学成绩优秀与所在学校有关？

甲校

乙校

总计

优秀

$a$

$b$

$a+b$

非优秀

$c$

$d$

$c+d$

总计

$a+c$

$b+d$

$n$

参考公式：

$P(K2\geqslant k0)$

$0.100$

$0.050$

$0.025$

$0.010$

$0.001$

$k0$

$2.706$

$3.841$

$5.024$

$6.635$

$10.828$

${K}^{2}= \dfrac{n(ad-bc{)}^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)},其中n=a+b+c+d $

难度：较难

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8．
开封市立洋高中高三$(1)$班男同学有$45$名，女同学有$15$名，老师按照分层抽样的方法组建了一个$4$人的课外兴趣小组．

$($Ⅰ$)$求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；

$($Ⅱ$)$经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出$1$名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；

$($Ⅲ$)$试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为$68$，$70$，$71$，$72$，$74$，第二次做试验的同学得到的试验数据为$69$，$70$，$70$，$72$，$74$，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．

难度：较难

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9．为了了解某地区的1003名学生的数学，打算从中抽取一个容量为50的样本，现用系统抽样的方法，需要从总体中剔除3个个体，在整个过程中，每个个体被剔除的概率和每个个体被抽取的概率分别为（　　）

A． $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B1003%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B20%7D$

B． $%20%5Cfrac%20%7B1000%7D%7B1003%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B20%7D$

C． $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B1003%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7B50%7D%7B1003%7D$

D． $%20%5Cfrac%20%7B1000%7D%7B1003%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7B50%7D%7B1003%7D$

难度：较难

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10．要从高一（5）班50名学生中随机抽出5人参加一项活动，假设从0开始编号，用随机数表法进行抽样，从下表的第一个数1开始向右读数，则第5人的号码是（　　）
随机数表：16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43．

A．49

B．54

C．44

D．43

难度：较难

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0/40

进入组卷

\(P(K^{2}{\geqslant }k_{0})\)	\(0{.}10\)	\(0{.}05\)	\(0{.}025\)	\(0{.}010\)
\(k_{0}\)	\(2{.}706\)	\(3{.}841\)	\(5{.}024\)	\(6{.}635\)

产品类别	\(A\)	\(B\)	\(C\)
产品数量\((\)件\()\)		\(1300\)
各层抽取件数		\(130\)

组号	分组	回答正确的人数	回答正确的人数占本组的频率
第 \(1\) 组	\([15,25) \)	\(a\)	\(0.5\)
第 \(2\) 组	\([25,35) \)	\(18\)	\(x\)
第 \(3\) 组	\([35,45) \)	\(b\)	\(0.9\)
第 \(4\) 组	\([45,55) \)	\(9\)	\(0.36\)
第 \(5\) 组	\([55,65]\)	\(3\)	\(y\)

分组	\([70,80)\)	\([80,90)\)	\([90,100)\)	\([100,110)\)	\([110,120)\)	\([120,130)\)	\([130,140)\)	\([140,150)\)
频数	\(2\)	\(3\)	\(10\)	\(15\)	\(15\)	\(x\)	\(3\)	\(1\)

分组	\([70,80)\)	\([80,90)\)	\([90,100)\)	\([100,110)\)	\([110,120)\)	\([120,130)\)	\([130,140)\)	\([140,150)\)
频数	\(1\)	\(2\)	\(9\)	\(8\)	\(10\)	\(10\)	\(y\)	\(3\)

	喜好体育运动	不喜好体育运动	合计
男生	______	\(5\)	______
女生	\(10\)	______	______
合计	______	______	\(50\)

	甲校	乙校	总计
优秀	\(a\)	\(b\)	\(a+b\)
非优秀	\(c\)	\(d\)	\(c+d\)
总计	\(a+c\)	\(b+d\)	\(n\)

\(P(K2\geqslant k0)\)	\(0.100\)	\(0.050\)	\(0.025\)	\(0.010\)	\(0.001\)
\(k0\)	\(2.706\)	\(3.841\)	\(5.024\)	\(6.635\)	\(10.828\)