已知函数\(y=f(x)\)的图象是折线段\(ABC\)，其中\(A(0,0)\)、\(B( \dfrac{1}{2},5) \)、\(C(1,0)\)，函数\(y=xf(x)(-0\)\(\leqslant x\leqslant 1\)\()\)的图象与\(x\)轴围成的图形的面积为___________．

\(\int_{1}^{e}{(1+\ln x)dx}=\)_____________．

\((1)\)已知\(f\)\((\)\(x\)\()=\)\(x\)\({\,\!}^{3}+3\)\(x\)\({\,\!}^{2}+\)\(a\)\((\)\(a\)为常数\()\)，在\([-3,3]\)上有最小值\(3\)，那么在\([-3,3]\)上\(f\)\((\)\(x\)\()\)的最大值是________________．

\((2)\)如图阴影部分是由曲线\(y\)\(= \dfrac{1}{x}\)、\(y\)\({\,\!}^{2}=\)\(x\)与直线\(x\)\(=2\)、\(y\)\(=0\)围成，则其面积为______．

\((3)\)函数\(f\)\((\)\(x\)\()=\)\(ax\)\({\,\!}^{3}-3\)\(x\)在区间\((-1,1)\)上为单调减函数，则\(a\)的取值范围是__________．

\((4)\)已知函数\(f\)\((\)\(x\)\()\)的图象在\([\)\(a\)，\(b\)\(]\)上连续不断，定义：\(f\)\({\,\!}_{1}(\)\(x\)\()=min\{\)\(f\)\((\)\(t\)\()|\)\(a\)\(\leqslant \)\(t\)\(\leqslant \)\(x\)\(\}(\)\(x\)\(∈[\)\(a\)，\(b\)\(])\)，\(f\)\({\,\!}_{2}(\)\(x\)\()=max\{\)\(f\)\((\)\(t\)\()|\)\(a\)\(\leqslant \)\(t\)\(\leqslant \)\(x\)\(\}(\)\(x\)\(∈[\)\(a\)，\(b\)\(])\)，其中，\(min\{\)\(f\)\((\)\(x\)\()|\)\(x\)\(∈\)\(D\)\(\}\)表示函数\(f\)\((\)\(x\)\()\)在区间\(D\)上的最小值，\(max\{\)\(f\)\((\)\(x\)\()|\)\(x\)\(∈\)\(D\)\(\}\)表示函数\(f\)\((\)\(x\)\()\)在区间\(D\)上的最大值\(.\)若存在最小正整数\(k\)，使得\(f\)\({\,\!}_{2}(\)\(x\)\()-\)\(f\)\({\,\!}_{1}(\)\(x\)\()\leqslant \)\(k\)\((\)\(x\)\(-\)\(a\)\()\)对任意的\(x\)\(∈[\)\(a\)，\(b\)\(]\)成立，则称函数为区间\([\)\(a\)，\(b\)\(]\)上的“\(k\)阶收缩函数”\(.\)有以下三个命题，其中正确的命题为________________\(.(\)请把正确命题序号填在横线上\()\)．

\(①\)若\(f\)\((\)\(x\)\()=\cos \)\(x\)，\(x\)\(∈[0,π]\)，则\(f\)\({\,\!}_{1}(\)\(x\)\()=\cos \)\(x\)，\(x\)\(∈[0,π]\)，\(f\)\({\,\!}_{2}(\)\(x\)\()=1\)，\(x\)\(∈[0,π]\)；

\(②\)函数\(f\)\((\)\(x\)\()=-\)\(x\)\({\,\!}^{3}+3\)\(x\)\({\,\!}^{2}\)是\([0,1]\)上的\(2\)阶收缩函数；

\(③\)若函数\(f\)\((\)\(x\)\()=\)\(x\)\({\,\!}^{2}\)，\(x\)\(∈[-1,4]\)是\([-1,4]\)上的“\(k\)阶收缩函数”，则\(k\)\(=4\)．

由曲线\(y\)\(=2-\)\(x\)\({\,\!}^{2}\)，直线\(y\)\(=\)\(x\)及\(x\)轴所围成的封闭图形\((\)图中的阴影部分\()\)的面积是________．

\((1)\)曲线\(y= \sqrt{x},y=2-x,y=- \dfrac{1}{3}x \) 所围成的面积为               

\((2)\)已知点\(O\)是\(\triangle ABC\) 的外心，且\(AB=3,AC=4 \) ，若存在非零实数\(x\)，\(y\) ，使得\( \overrightarrow{AO}=x \overrightarrow{AB}+y \overrightarrow{AC} \) ，且\(x+2y=1\) ，则\(\cos ∠BAC= \)           

\((3)\)用\([x] \) 表示不超过\(x\) 的最大整数\(.\)数列\(\{a_{n}\}\) 中，\({a}_{1}=1,{a}_{n+1}={{a}_{n}}^{2}+{a}_{n} \) ，则\([ \dfrac{1}{{a}_{1}+1}+ \dfrac{1}{{a}_{2}+1}+⋯+ \dfrac{1}{{a}_{n}+1}]= \)             

\((4)\)在锐角\(\triangle ABC\) 中，内角\(A\)、\(B\)、\(C\)所对的边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\) ，若\(A= \dfrac{π}{3},a= \sqrt{3} \) ，则\({b}^{2}+{c}^{2} \) 的取值范围为                

\((\)理\()\)若\((x+3){{(1-\dfrac{2}{\sqrt{x}})}^{n}}\)的展开式中常数项为\(43\)，则\(\int_{2}^{n}{2xdx}=\)         ．

计算\(\int_{-1}^{1}{({{x}^{2}}+\sin x){{d}_{x}}} =\)           

\({{\int_{0}^{3}{|x-2|}}_{{}}}dx =\)_____________\( .\)