已知角\(\alpha \)的顶点为坐标原点，始边与\(x\)轴的非负半轴重合，终边上有两点\(A(1,a),B(2,b)\)，且\(\cos 2\alpha =\dfrac{2}{3}\)，则\(|a-b|=\)___________．

\((1)\)若\(a\)\(⊥\)\(b\)，求\(x\)的值；

\((2)\)若\(a\)\(/\!/\)\(b\)，求\(|\)\(a\)\(-\)\(b\)\(|.\)

已知\(a=(1,\cos x)\)，\(b=\left( \left. \dfrac{1}{3},\sin x \right. \right)\)，\(x∈(0,π)\)．

\((\)Ⅰ\()\)若\(a/\!/b\)，求\( \dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}\)的值；

\((\)Ⅱ\()\)若\(a⊥b\)，求\(\sin x-\cos x\)的值．

已知向量\(\vec{m}=\left( \sqrt{3}{\sin }x,{\sin }x \right),\vec{n}=\left( {\cos }x,{\sin }x \right)\)．

\((1)\)若\(\vec{m}/\!/\vec{n}\)且\(x\in \left[ 0,\dfrac{\pi }{2} \right]\)，求角\(x\)；

\((2)\)若\(f(x)=\overset{\to }{{m}}\,\bullet \overset{\to }{{n}}\,\)，求函数\(f\left( x \right)\)的最小正周期和单调递增区间．

已知平面向量\(a\)\(=(1,2)\)，\(b\)\(=(-2,\)\(m\)\()\)，且\(a\)\(/\!/\)\(b\)，则\(2\)\(a\)\(+3\)\(b\)\(=\)_______

在\(\triangle ABC\)中，\(a\)，\(b\)，\(c\)分别是角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边，\( \overset{→}{n}=\left( \sqrt{3}a,c\right) \)与\( \overset{→}{n}=\left(1+\cos A,\sin C\right) \)为共线向量．

\((1)\)求角\(A\)；

\((2)\)若\(3bc=16-a^{2}\)，且\({{S}_{\vartriangle ABC}}=\sqrt{3}\)，求\(b\)，\(c\)的值．

在\(\triangle \)\(OAB\)的边\(OA\)，\(OB\)上分别有一点\(P\)，\(Q\)，已知\(|\overrightarrow{OP}| :|\overrightarrow{PA}|=1:2\)，\(|\overrightarrow{OQ}| :|\overrightarrow{QB}|=3:2\)，连结\(AQ\)，\(BP\)，设它们交于点\(R\)，若\(\overrightarrow{OA}=\)\(a\)，\(\overrightarrow{OB}=\)\(b\)．

\((1)\)用\(a\)与\(b\)表示\(\overrightarrow{OR}\)；  

\((2)\)过\(R\)作\(RH\)\(⊥\)\(AB\)，垂足为\(H\)，若\(|\) \(a\)\(|=1\)， \(|\) \(b\)\(|=2\)，\(a\)与\(b\)的夹角\(θ∈\left[ \dfrac{π}{3}, \dfrac{2π}{3}\right],求 \dfrac{\left| \overrightarrow{BH}\right|}{\left| \overrightarrow{BA}\right|} \)的取值范围．

设\( \overset{→}{{e}_{1}}, \overset{→}{{e}_{2}} \)是两个不共线的向量，\( \overset{→}{AB}=2{ \overset{→}{e}}_{1}+k{ \overset{→}{e}}_{2}, \overset{→}{CB}={ \overset{→}{e}}_{1}+3{ \overset{→}{e}}_{2}, \overset{→}{CD}=2{ \overset{→}{e}}_{1}-{ \overset{→}{e}}_{2} \)，

\((1)\)若\(A\)、\(B\)、\(D\)三点共线，求\(k\)的值．

\((2)\)若\( \overset{→}{MN}=2{ \overset{→}{e}}_{1}+13{ \overset{→}{e}}_{2} \)，以\( \overset{→}{CB}, \overset{→}{CD} \)为基底，求的\( \overset{→}{MN} \)的分解方式

已知向量\(\overrightarrow{a}=(3,4)\)，\(\overrightarrow{b}=(t,-6)\)，且\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)共线，则向量\(\overrightarrow{a}\)在\(\overrightarrow{b}\)方向上的投影为________．

设\(x > y > 0,z > 0\)，向量\(\overrightarrow{a}=(2x-3y,z-3y),\overrightarrow{b}=(z+3y,x+4y),\)且\(\overrightarrow{a}/\!/\overrightarrow{b}\)，若不等式\(4x+5y\geqslant kz\)恒成立，则实数\(k\)的最大值为       ．