\(O\)为\(\triangle ABC\)的外心，\(AB+BC=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}AC,\sin C(\cos A-\sqrt{3})+\cos C\sin A=0.\) 若\(\overrightarrow{{AO}}=x\overrightarrow{{AB}}+y\overrightarrow{{AC}}\) \((x,y∈R)\)则\(\dfrac{{x}}{{y}}=\)(    )

在边长为\(1\)的等边\(\triangle ABC\)中，\(E\)为\(AC\)上一点，且\(\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AE}\)，\(P\)为\(BE\)上一点，且满足\(\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}(m > 0,n > 0)\)，则\(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}\)取最小值时，\(\left| \overrightarrow{AP} \right|=\)__________．

已知\( \overrightarrow{AB}⊥ \overrightarrow{AC},\left| \overrightarrow{AB}\right|= \dfrac{1}{t},\left| \overrightarrow{AC}\right|=t \)，若\(P \)点是\(∆ABC \)所在平面内一点，且\( \overrightarrow{AP}= \dfrac{ \overrightarrow{AB}}{\left| \overrightarrow{AB}\right|}+ \dfrac{4 \overrightarrow{AC}}{\left| \overrightarrow{AC}\right|} \) ，则\( \overrightarrow{PB}· \overrightarrow{PC} \) 的最大值等于\((\)    \()\)

将圆的六个等分点分成相同的两组，它们每组三个点构成的两个正三角形除去内部的六条线段后可以形成一个正六角星\(.\)如图所示的正六角星的中心为点\(O\)，其中\(x,y\)分别为点\(O\)到两个顶点的向量\(.\)若将点\(O\)到正六角星\(12\)个顶点的向量都写成\(a\overrightarrow{x}+b\overrightarrow{y}\)的形式，则\(a+b\)的最大值为         ．

设\(D\)为\(\triangle ABC\)所在平面内一点\( \overset{→}{BC}=3 \overset{→}{CD} \)，则\((\) \()\)

已知\(a\)，\(b\)，\(c\)分别是\(\triangle ABC\)中角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边，\(G\)是\(\triangle ABC\)的三条边上中线的交点，若\( \overrightarrow{GA}+\left(a+b\right) \overrightarrow{GB}+2c \overrightarrow{GC}= \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0} \)，且\( \dfrac{1}{a}+ \dfrac{2}{b} \geqslant \)\(\cos \)\(2\)\(x\)\(-\)\(m\sin x\)\((\)\(x\)\(∈R)\)恒成立，则实数\(m\)的取值范围为______．

如图，直三棱柱\(ABC\)\(-\)\(A\)\({\,\!}_{1}\)\(B\)\({\,\!}_{1}\)\(C\)\({\,\!}_{1}\)中，\(AB\)\(=\)\(AC\)\(=\)\(AA\)\({\,\!}_{1}=4\)，\(BC\)\(=2 \sqrt{2}\)．\(BD\)\(⊥\)\(AC\)，垂足为\(D\)，\(E\)为棱\(BB\)\({\,\!}_{1}\)上一点，\(BD\)\(/\!/\)平面\(AC\)\({\,\!}_{1}\)\(E\)．

\((I)\)求线段\(B\)\({\,\!}_{1}\)\(E\)的长；

\((II)\)求二面角\(C\)\({\,\!}_{1}-\)\(AC\)\(-\)\(E\)的余弦值．

\((\)本小题满分\(12\)分\()\)

平面内给定三个向量\( \overrightarrow{a}=(3,2)\)，\( \overrightarrow{b}=(-1,2)\)，\( \overrightarrow{c}=(4,1)\)
\((1)\)求\(3 \overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b}-2 \overrightarrow{c}\)；
\((2)\)求满足\( \overrightarrow{a}=m \overrightarrow{b}+n \overrightarrow{c}\)的实数\(m\)、\(n\)．