在平面直角坐标系中，\(P\left( x,y \right)\)为平面上一点，点\(M\left( 1,0 \right)\)，\(P\)到直线\(x=2\)的距离为\(d\)，\(\dfrac{\left| PM \right|}{d}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)．

\((\)Ⅰ\()\)求点\(P\)的轨迹\(C\)的方程；

\((\)Ⅱ\()\)不过原点\(O\)的直线\(l\)与\(C\)交于\(A,B\)两点，线段\(AB\)的中点为\(D\)，直线\(OD\)与直线\(x=2\)交点的纵坐标为\(1\)，求\(\Delta OAB\)面积的最大值及此时直线\(l\)的方程．

已知椭圆\(E:\dfrac{{{x}^{2}}}{3}+{{y}^{2}}=1\)上任意一点\(P\)，过点\(P\)作\(PQ\bot y\)轴，\(Q\)为垂足，且\(\overrightarrow{QM}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\overrightarrow{QP}.\)

\((\)Ⅰ\()\)求动点\(M\)的轨迹\(\Gamma \)的方程；

\((\)Ⅱ\()\)设直线\(l\)与曲线\(\Gamma \)相切，且与椭圆\(E\)交于\(A,B\)两点，求\(\Delta OAB\)面积的最大值\((O\)为坐标原点\()\)．

已知点\(A(1,0)\)，点\(B\)在圆\(O\)：\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\)上运动，若点\(C\)满足\(2\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\)，则点\(C\)的轨迹是

已知定点\(F(1,0)\)，定直线\(l\)：\(x=4\)，动点\(P\)到点\(F\)的距离与到直线\(1\)的距离之比等于\( \dfrac{1}{2} \)．

\((1)\)求动点\(P\)的轨迹\(E\)的方程；

\((2)\)设轨迹\(E\)与\(x\)轴负半轴交于点\(A\)，过点\(F\)作不与\(x\)轴重合的直线交轨迹\(E\)于两点\(B\)、\(C\)，直线\(AB\)、\(AC\)分别交直线\(1\)于点\(M\)、\(N.\)试问：在\(x\)轴上是否存在定点\(Q\)，使得\( \overset{⇀}{QM}· \overset{⇀}{QN}=0 \)？若存在，求出定点\(Q\)的坐标；若不存在，请说明理由．

已知椭圆\(E\)：\(+\)\(=1\)的焦点在\(x\)轴上，\(A\)是\(E\)的左顶点，斜率为\(k\)\((\)\(k\)\( > 0)\)的直线交\(E\)于\(A\)，\(M\)两点，点\(N\)在\(E\)上，\(MA\)\(⊥\)\(NA\)．

\((1)\)当\(t\)\(=4\)，\(|\)\(AM\)\(|=|\)\(AN\)\(|\)时，求\(\triangle \)\(AMN\)的面积；

\((2)\)当\(2|\)\(AM\)\(|=|\)\(AN\)\(|\)时，求\(k\)的取值范围．

若动点\(M(x,y)\)满足\(\sqrt{{{(x-2)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\dfrac{|x+y-2|}{\sqrt{2}}\)，则\(M\)的轨迹为\((\)  \()\)

已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为\(F\left(- \sqrt{3},0\right) \) ，且过点\(D\left(2,0\right) \) ．

\((1)\)求该椭圆的标准方程；

\((2)\)设点\(A\left(1, \dfrac{1}{2}\right) \)，若\(P\)是椭圆上的动点，求线段\(PA\)的中点\(M\)的轨迹方程．

已知圆\(C_{1}:x^{2}+y^{2}=r^{2}(r > 0)\)与直线\({l}_{0:y= \frac{1}{2}x+ \frac{3}{2} \sqrt{5}} \)相切，点\(A\)为圆\(C_{1}\)上一动点，\(AN⊥x\)轴于点\(N\)，且动点\(M\)满足\( \overrightarrow{OM}+2 \overrightarrow{AM}=(2 \sqrt{2}-2) \overrightarrow{ON} \)，设动点\(M\)的轨迹为曲线\(C\)．

\((1)\)求动点\(M\)的轨迹曲线\(C\)的方程；

\((2)\)若直线\(l\)与曲线\(C\)相交于不同的两点\(P\)、\(Q\)且满足以\(PQ\)为直径的圆过坐标原点\(O\)，求线段\(PQ\)长度的取值范围．