知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．
已知圆$O$：$x^{2}+y^{2}=4$，点$A(- \sqrt{3},0)$，$B( \sqrt{3},0)$，以线段$AP$为直径的圆$C_{1}$内切于圆$O.$记点$P$的轨迹为$C_{2}$．

$(1)$证明：$|AP|+|BP|$为定值，并求$C_{2}$的方程；

$(2)$过点$O$的一条直线交圆$O$于$M$，$N$两点，点$D(-2,0)$，直线$DM$，$DN$与$C_{2}$的另一个交点分别为$S$，$T.$记$\triangle DMN$，$\triangle DST$的面积分别为$S_{1}$，$S_{2}$，求$ \dfrac{S_{1}}{S_{2}}$的取值范围．

难度：难

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2．
已知点$F(1,0)$，点$A$是直线$l_{1}$：$x=-1$上的动点，过$A$作直线$l_{2}$，$l_{1}⊥l_{2}$，线段$AF$的垂直平分线与$l_{2}$交于点$P$．
$($Ⅰ$)$求点$P$的轨迹$C$的方程；
$($Ⅱ$)$若点$M$，$N$是直线$l_{1}$上两个不同的点，且$\triangle PMN$的内切圆方程为$x^{2}+y^{2}=1$，直线$PF$的斜率为$k$，求$ \dfrac {|k|}{|MN|}$的取值范围．

难度：难

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3．
已知圆$C$：$(x+1)^{2}+y^{2}=8$，点$A(1,0)$，$P$是圆$C$上任意一点，线段$AP$的垂直平分线交$CP$于点$Q$，当点$P$在圆上运动时，点$Q$的轨迹为曲线$E$．
$(1)$求曲线$E$的方程；
$(2)$若直线$l$：$y=kx+m$与曲线$E$相交于$M$，$N$两点，$O$为坐标原点，求$\triangle MON$面积的最大值．

难度：难

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4．
已知线段$AB$的端点$B$的坐标为$(1,3)$，端点$A$在圆$C$：$(x+1)^{2}+y^{2}=4$上运动．
$(1)$求线段$AB$的中点$M$的轨迹；
$(2)$过$B$点的直线$L$与圆$C$有两个交点$A$，$D.$当$CA⊥CD$时，求$L$的斜率．

难度：难

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5．
已知圆的公共点的轨迹为曲线，且曲线与轴的正半轴相交于点，若曲线上相异两点、满足直线，的斜率之积为．

$($Ⅰ$)$求的方程；

$($Ⅱ$)$证明直线恒过定点，并求定点的坐标；

难度：难

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6．
已知圆$M:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{r}^{2}}(r > 0)$与直线${{l}_{1}}:x-\sqrt{3}y+6=0$相切，设点$A$为圆上一动点，$AB\bot x$轴于$B$，且动点$N$满足$\overrightarrow{AB}=\sqrt{3}\overrightarrow{NB}$，设动点$N$的轨迹为曲线$C$．

$(1)$求曲线$C$的方程；

$(2)$若直线$l$与直线${{l}_{1}}$垂直且与曲线$C$交于$B,D$两点，求$\Delta OBD$面积的最大值．

难度：难

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7．
在直角坐标系中，已知，，动点，若直线的斜率，满足条件．
$(1)$求动点的轨迹方程；

$(2)$已知，问：曲线上是否存在点满足？若存在求出点坐标；若不存在，请说明理由．

$(3)($理科做$)$过的直线与椭圆交与，两点，求的面积最大值

难度：难

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8．
在平面直角坐标系$xOy$中，点$B$与点$A(-1,1)$关于原点$O$对称，$P$是动点，且直线$AP$与$BP$的斜率之积等于$- \dfrac{1}{3} $，则动点$P$的轨迹方程________

难度：难

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9． F₁，F₂是椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%3Eb%3E0%29$ 的两焦点，P是椭圆上任意一点，从任一焦点引∠F₁PF₂的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为(　　)

A．圆

B．椭圆

C．双曲线

D．抛物线

难度：难

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10．已知椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F₁(-c，0)、F₂(c，0)，Q是椭圆外的动点，满足| $%20%5Coverrightarrow%20%7BF_%7B1%7DQ%7D$ |=2a．点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，点T在线段F₂Q上，并且满足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BPT%7D$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7BTF_%7B2%7D%7D$ =0，| $%20%5Coverrightarrow%20%7BTF_%7B2%7D%7D$ |≠0．
(Ⅰ)设x为点P的横坐标，证明| $%20%5Coverrightarrow%20%7BF_%7B1%7DP%7D$ |=a+ $%20%5Cfrac%20%7Bc%7D%7Ba%7D$ x；
(Ⅱ)求点T的轨迹C的方程；
(Ⅲ)试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F₁MF₂的面积S=b²．若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，请说明理由．

难度：难

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