知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1 （a＞b＞0）的短轴长为2，过上顶点E和右焦点F的直线与圆M：x²+y²-4x-2y+4=0相切．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l过点（1，0），且与椭圆C交于点A，B，则在x轴上是否存在一点T（t，0）（t≠0），使得不论直线l的斜率如何变化，总有∠OTA=∠OTB （其中O为坐标原点），若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由．

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2．已知直线l与椭圆4x²+9y²=36相交于A，B两点，弦AB的中点坐标为（1，1），则直线l的方程为 ______ ．

难度：难

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3．已知椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞1）的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为 $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B3%7D$ π，过椭圆C的右焦点作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中点为P．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P垂直于AB的直线与x轴交于点D（ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B7%7D$ ，0），求k的值．

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4．已知双曲线C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，O为坐标原点，点P是双曲线在第一象限内的点，直线PO，PF₂分别交双曲线C的左、右支于另一点M，N，若|PF₁|=2|PF₂|，且∠MF₂N=120°，则双曲线的离心率为（　　）

A． $%20%5Cfrac%20%7B2%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B3%7D$

B． $%20%5Csqrt%20%7B7%7D$

C． $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$

D． $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$

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5．如图，已知椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1$ （a＞b＞0）的左右顶点分别是A（- $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，0），B（ $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，0），离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ．设点P（a，t）（t≠0），连接PA交椭圆于点C，坐标原点是O．
（Ⅰ）证明：OP⊥BC；
（Ⅱ）若三角形ABC的面积不大于四边形OBPC的面积，求|t|的最小值．

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6．

如图，A₁，A₂为椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B9%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B5%7D%3D1$ 长轴的左、右端点，O为坐标原点，S，Q，T为椭圆上不同于A₁，A₂的三点，直线QA₁，QA₂，OS，OT围成一个平行四边形OPQR，则|OS|²+|OT|²=（　　）

A．14

B．12

C．9

D．7

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7．已知椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B5%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%3D1$ ，过右焦点F₂的直线l交椭圆于M，N两点．
（1）若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BON%7D%3D-3$ ，求直线l的方程；
（2）若直线l的斜率存在，在线段OF₂上是否存在点P（a，0），使得 $%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BPM%7D%7C%3D%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BPN%7D%7C$ ，若存在，求出a的范围，若不存在，请说明理由．

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8．直线l交椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D$ +y²=1于A，B两点，若线段AB的中点坐标为（1， $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ）．则直线l的方程为 ______ ．

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9．已知右焦点为F₂（c，0）的椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）过点（1， $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$ ），且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点（ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，0）作直线l与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为M，点A是椭圆C的右顶点，求直线MA的斜率k的取值范围．

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10．已知椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）和直线l： $%20%5Cfrac%20%7Bx%7D%7Ba%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7By%7D%7Bb%7D$ =1，椭圆的离心率e= $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B6%7D%7D%7B3%7D$ ，坐标原点到直线l的距离为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ ．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知定点E（-1，0），若直线m过点P（0，2）且与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在直线m，使以CD为直径的圆过点E？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．

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