已知\(P\)是焦距为\(4\sqrt{2}\)的双曲线\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a > 0,b > 0 \right)\)上一点，过\(P\)的直线与双曲线\(C\)的两条渐近线分别交于点\({{P}_{1}}\)，\({{P}_{2}}\)，且\(3\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{O{{P}_{1}}}+2\overrightarrow{O{{P}_{2}}}\)，\(O\)为坐标原点．

\((\)Ⅰ\()\)设\({{P}_{1}}\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)\)，\({{P}_{2}}\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)\)，证明：\({{x}_{1}}{{x}_{2}}-{{y}_{1}}{{y}_{2}}=9\)；

\((\)Ⅱ\()\)试求当\(\Delta O{{P}_{1}}{{P}_{2}}\)面积取得最大值时双曲线的方程．

已知\(F\)是双曲线\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > 0,b > 0)\)的右焦点，\(A\)，\(B\)分别为\(C\)的左、右顶点\(.O\)为坐标原点，\(D\)为\(C\)上一点，\(DF⊥x\)轴\(.\)过点\(A\)的直线\(l\)与线段\(DF\)交于点\(E\)，与\(y\)轴交于点\(M\)，直线\(BE\)与\(y\)轴交于点\(N\)，若\(3｜DM｜=2｜ON｜\)，则双曲线\(C\)的离心率为________．

已知双曲线\( \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > 0,b > 0) \)的右焦点为\(F(2,0) \)，设\(A \)，\(B \)为双曲线上关于原点对称的两点，\(AF \)的中点为\(M \)，\(BF \)的中点为\(N \)，若原点\(O \)在以线段\(MN \)为直径的圆上，直线\(AB \)的斜率为\( \dfrac{3 \sqrt{7}}{7} \)，则双曲线的离心率为\((\)    \()\)

过原点的直线\(l\)与曲线\(C:\dfrac{{{x}^{2}}}{3}+{{y}^{2}}=1\)相交，若直线\(l\)被曲线\(C\)所截得的线段长不大于\(\sqrt{6}\)，则直线\(l\)的倾斜角\(\alpha \)的取值范围是                       

已知\({{F}_{1}},{{F}_{2}}\)分别是双曲线\(\dfrac{{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{x}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a,b > 0)\)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点\(M\)，若点\(M\)在以线段\({{F}_{1}}{{F}_{2}}\)为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是\((\)   \()\)

双曲线\(C:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{3}=1(a > 0)\)的左、右焦点分别为\({{F}_{1}},{{F}_{2}}\)，过\({{F}_{2}}\)作\(x\)轴垂直的直线交双曲线\(C\)于\(A,B\)两点，\(\Delta {{F}_{1}}AB\)的面积为\(12\)，抛物线\(E:{{y}^{2}}=2px\left( p > 0 \right)\)以双曲线\(C\)的右顶点为焦点．

\((1)\)求抛物线\(E\)的方程；

\((2)\)如图，点\(P\left( -\dfrac{p}{2},t \right)\left( t\ne 0 \right)\)为抛物线\(E\)的准线上一点，过点\(P\)作\(y\)轴的垂线交抛物线于点\(M\)，连接\(PO\)并延长交抛物线于点\(N\)，求证：直线\(MN\)过定点．

设\(A\)、\(B\)分别为双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > 0,b > 0)\)的左、右顶点，双曲线的实轴长为\(4\sqrt[{}]{3}\)，焦点到渐近线的距离为\(\sqrt[{}]{3}\)．

\((\)Ⅰ\()\)求双曲线的方程；

\((\)Ⅱ\()\)已知直线\(y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x-2\)与双曲线的右支交于\(M\)、\(N\)两点，且在双曲线的右支上存在点\(D\)，使\(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=t\ \overrightarrow{OD}\)，求\(t\)的值及点\(D\)的坐标．