知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．若点P（2，0）到双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D-y%5E%7B2%7D%3D1%28a%EF%BC%9E0%29$ 的一条渐近线的距离为1，则a= ______ ．

难度：难

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2．设双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a，b＞0）的实轴长为4 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，焦点到渐近线的距离为 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ．
（1）求此双曲线的方程；
（2）已知直线y= $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B3%7D$ x-2与双曲线的右支交于A，B两点，且在双曲线的右支上存在点C，使得 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D$ + $%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ =m $%20%5Coverrightarrow%20%7BOC%7D$ ，求m的值及点C的坐标．

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3．已知双曲线C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（b＞a＞0）的右焦点为F，O为坐标原点，若存在直线l过点F交双曲线C的右支于A，B两点，使 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ =0，则双曲线离心率的取值范围是 ______ ．

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4．已知双曲线C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞0．b＞0）的离心率为 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，虚轴端点与焦点的距离为 $%20%5Csqrt%20%7B5%7D$ ．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x²+y²=5上，求m的值．

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5．设F₁，F₂是双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B3%7D-y%5E%7B2%7D$ =1的两个焦点，P在双曲线上，当△F₁PF₂的面积为2时， $%20%5Coverrightarrow%20%7BPF_%7B1%7D%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BPF_%7B2%7D%7D$ 的值为（　　）

A．2

B．3

C．4

D．6

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6．双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B9%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B16%7D%3D1$ 的两个焦点为F₁、F₂，点P在双曲线上，若PF₁⊥PF₂，则点P到x轴的距离为 ______ ．

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7．若P为双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B25%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B24%7D%3D1$ 右支上一个动点，F为双曲线的左焦点，M为PF的中点，O为坐标原点，则|OM|的取值范围为（　　）

A．[0，+∞]

B．[2，+∞]

C．[ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，+∞]

D．[1+∞]

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8．

斜率为2的直线l过双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞0，b＞0）的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

A．e＜ $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$

B．1＜e＜ $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$

C．1＜e＜ $%20%5Csqrt%20%7B5%7D$

D．e＞ $%20%5Csqrt%20%7B5%7D$

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9．已知中心在原点，顶点A₁、A₂在x轴上，离心率e= $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B21%7D%7D%7B3%7D$ 的双曲线过点P（6，6）．
（1）求双曲线方程．
（2）动直线l经过△A₁PA₂的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问：是否存在直线l，使G平分线段MN，证明你的结论．

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10．已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为 $x%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D%7B5%7D$ ，离心率 $e%3D%20%5Csqrt%20%7B5%7D$ ．
(Ⅰ)求该双曲线的方程；
(Ⅱ)如图，点A的坐标为 $%28-%20%5Csqrt%20%7B5%7D%2C0%29$ ，B是圆 $x%5E%7B2%7D%2B%28y-%20%5Csqrt%20%7B5%7D%29%5E%7B2%7D%3D1$ 上的点，点M在双曲线右支上，|MA|+|MB|的最小值，并求此时M点的坐标．

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