在一张足够大的纸板上截取一个面积为\(3600\)平方厘米的矩形纸板\(ABCD\)，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒\((\)如图\().\)设小正方形边长为\(x\)厘米，矩形纸板的两边\(AB\)，\(BC\)的长分别为\(a\)厘米和\(b\)厘米，其中\(a\geqslant b.\)当\(a=90\)时，求纸盒侧面积的最大值；

“\({∀}x{∈}R{,}x^{2}{+}{ax}{+}1{\geqslant }0\)成立”是“\({|}a{|\leqslant }2\)”的\(({  })\)

某公司今年年初用\(25\)万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为\(21\)万元\(.\)同时，公司每年需要付出设备的维修和工人工资等费用，第一年各种费用\(2\)万元，第二年各种费用\(4\)万元，以后每年各种费用都增加\(2\)万元．

\((1)\)引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；

\((2)\)这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？

首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题\(.\)某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品\(.\)已知该单位每月的处理量最少为\(400\)吨，最多为\(600\)吨，月处理成本\(y(\)元\()\)与月处理量\(x(\)吨\()\)之间的函数关系可近似地表示为\(y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-200x+80000\)．

\((1)\)该单位每月处理二氧化碳的量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

\((2)\)若每处理一吨二氧化碳的利润为\(100\)元，该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？

近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“\(Mobike\)”计划在甲、乙两座城市共投资\(120\)万元，根据行业规定，每个城市至少要投资\(40\)万元，由前期市场调研可知：甲城市收益\({P}\)与投入\(a(\)单位：万元\()\)满足\(P=3\sqrt{2a}-6\)，乙城市收益\({Q}\)与投入\(a(\)单位：万元\()\)满足\({Q}=\dfrac{1}{4}a+2\)，设甲城市的投入为\(x(\)单位：万元\()\)，两个城市的总收益为\(f\left( x \right)(\)单位：万元\()\)。

\((1)\)当甲城市投资\(50\)万元时，求此时公司总收益；

\((2)\)试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？

某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

\((I)\)求回归直线\(\hat{y}=bx+a\)，其中\(b=-20\)，\(a=\bar{y}-b\bar{x}\)；

\((II)\)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从\((I)\)中的关系，且该产品的成本是\(4\)元\(/\)件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？\((\)利润\(=\)销售收入\(-\)成本\()\)

\((\)Ⅲ\()\)销量与单价仍然服从\((I)\)中的关系，选取表格前三组数据，计算残差平方和．

\((\)残差平方和计算公式．\(\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{y}_{i}}-{{{\hat{y}}}_{i}})}^{2}}})\)