知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知集合A={a₁，a₂，…a_n}（n∈N^*），规定：若集合A₁∪A₂∪…∪A_m=A（m≥2，m∈N^*），则称{A₁，A₂，…，A_m}为集合A的一个分拆，当且仅当：A₁=B₁，A₂=B₂，…A_m=B_m时，{A₁，A₂，…，A_m}与{B₁，B₂，…，B_m}为同一分拆，所有不同的分拆种数记为f_n（m）．例如：当n=1，m=2时，集合A={a₁}的所有分拆为：{a₁}∪{a₁}，{a₁}∪∅，∅∪{a₃}，即f₁（2）=3．
（1）求f₂（2）；
（2）试用m、n表示f_n（m）；
（3）证明：
m
i=1
f_n（i）与m同为奇数或者同为偶数（当i=1时，规定f_n（1）=1）

难度：中等

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2．设a是实数，f（x）=x²+ax+a，求证：|f（1）|与|f（2）|中至少有一个不小于
1
2
．

难度：较易

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3．设集合S含有n个元素，A₁，A₂，…，A_k是S的不同子集，它们两两的交集非空，而S的其他子集不能与A₁，A₂，…，A_k都相交，求证：k=2^n-1．

难度：中等

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4．已知集合S={x|-1＜x＜1}，在S中定义一种运算“*”，当a，b∈S时，a*b=
a+b
1+ab
．
（1）求证：a*b=S；
（2）求证：（a*b）*c=a*（b*c）（a，b，c∈S）

难度：中等

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5．设n∈N且n≥15，A，B都是{1，2，3，…，n}真子集，A∩B=∅，且A∪B={1，2，3，…，n}．证明：A或者B中必有两个不同数的和是完全平方数．

难度：中等

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6．已知函数f（x）=ax²+bx+c中，a+b+c=0，a＞b＞c．
（1）证明函数f（x）有两个不同的零点；
（2）若存在x∈R，使ax²+bx+a+c=0成立．
①试判断f（x+3）的符号，并说明理由；
②当b≠0时，证明关于x的方程ax²+bx+a+c=0在区间（
c
a
，0），（0，1）内各有一个实根．

难度：中等

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7．已知集合A={x|x=3n-2，n∈Z}，B={y|y=3k+1，k∈Z}，证明：A=B．

难度：较易

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8．设集合A={x|x=12m+8n，m，n∈Z}，B={x|x=20p+16q，p，q∈Z}，求证：A=B．

难度：较易

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9．下列各组对象能确定一个集合的是
（1）所有很大的实数．
（2）好心的人．
（3）1，2，2，3，4，5．

难度：较难

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10．已知对于自然数a，存在一个以a为首项系数的整系数二次三项式，它有两个小于1的正根，求证：a≥5．

难度：中等

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