知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
设$f(x)=6\cos ^{2}x- \sqrt {3}\sin 2x(x∈R)$．
$($Ⅰ$)$求$f(x)$的最大值及最小正周期；
$($Ⅱ$)$在$\triangle ABC$中，角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，锐角$A$满足，$f(A)=3-2 \sqrt {3}$，$B= \dfrac {\pi }{12}$，求$ \dfrac {a}{c}$的值．

难度：难

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2．
在$\triangle ABC$中，角$A$、$B$、$C$所对的边长分别是$a$、$b$、$c$，且$\cos A= \dfrac{4}{5}$．

$(1)$求$\sin ^{2} \dfrac{B+C}{2}+\cos 2A$的值；

$(2)$若$b=2$，$\triangle ABC$的面积$S=3$，求$a$．

难度：较易

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3．
已知函数$f(x)=\sin ( \dfrac {π}{2}-x)\sin x- \sqrt {3}\cos ^{2}x.$
$(I)$求$f(x)$的最小正周期和最大值；
$(II)$讨论$f(x)$在$[ \dfrac {π}{6}, \dfrac {2π}{3}]$上的单调性．

难度：难

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4．
已知函数$f(x)=4\cos x\cos (x- \dfrac {π}{3})-2$．
$(I)$求函数$f(x)$的最小正周期；
$(II)$求函数$f(x)$在区间$[- \dfrac {π}{6}, \dfrac {π}{4}]$上的最大值和最小值．

难度：较易

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5．阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
令α+β=A，α-β=β 有α= $%20%5Cfrac%20%7BA%2BB%7D%7B2%7D$ ，β= $%20%5Cfrac%20%7BA-B%7D%7B2%7D$
代入③得 sinA+sinB=2sin $%20%5Cfrac%20%7BA%2BB%7D%7B2%7D$ cos $%20%5Cfrac%20%7BA-B%7D%7B2%7D$ ．
（Ⅰ）类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA-cosB=-2sin $%20%5Cfrac%20%7BA%2BB%7D%7B2%7D$ sin $%20%5Cfrac%20%7BA-B%7D%7B2%7D$ ；
（Ⅱ）求值：sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°（提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（Ⅰ）中的结论）

难度：较易

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6．利用已学知识证明：
（1）sinθ+sinφ=2sin $%20%5Cfrac%20%7B%CE%B8%2B%CF%86%7D%7B2%7D$ cos $%20%5Cfrac%20%7B%CE%B8-%CF%86%7D%7B2%7D$ ；
（2）已知△ABC的外接圆的半径为2，内角A，B，C满足sin2A+sin（A-B+C）=sin（C-A-B）+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，求△ABC的面积．

难度：较易

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7．设x≥y≥z≥，且x+y+z=，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值．

难度：中等

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8．已知△ABC的三个内角A，B，C满足： $A%2BC%3D2B%2C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7BcosA%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7BcosC%7D%3D-%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7BcosB%7D$ ，求 $cos%20%5Cfrac%20%7BA-C%7D%7B2%7D$ 的值．

难度：中等

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9．设x≥y≥z≥ $%20%5Cfrac%20%7B%5Cpi%20%7D%7B12%7D$ ，且x+y+z= $%20%5Cfrac%20%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D$ ，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值．

难度：中等

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10．已知α，β为锐角，且，那么sinαsinβ的取值范围是．

难度：中等

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