知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设椭圆M：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率与双曲线x²-y²=1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若直线y=
2
x+m交椭圆M于A，B两点，P（1，
2
）为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．

难度：中等

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2．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C₁的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C₂的极坐标方程为ρcos(θ+
π
4
)=2
2
．
（1）求曲线C₁的参数方程与曲线C₂的直角坐标方程；
（2）记曲线C₁与曲线C₂交于M，N两点，求线段 MN的长度．

难度：较易

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3．已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的离心率e=
2
，F₁、F₂为其左右焦点，点P在C上，且
PF2
•
F1F2
=0，
PF1
•
PF2
=2，O是坐标原点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过F₂的直线l与双曲线C交于A，B两点，求
F1A
•
F1B
的取值范围．

难度：较难

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4．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1的左右焦点分别为F₁，F₂，|F₁F₂|=2
5
，点P为椭圆短轴的端点，且△PF₁F₂的面积为2
5
}．
（1）求椭圆的方程；
（2）点Q是椭圆上任意一点，A（4
5
，6），求|QA|-|QF₁|的最小值；
（3）点B(1，
4
2
3
)是椭圆上的一定点，B₁，B₂是椭圆上的两动点，且直线BB₁，BB₂关于直线x=1对称，试证明直线B₁B₂的斜率为定值．

难度：中等

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5．（2015秋•朔州校级期中）某市政府欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园（如图中阴影部分），形状为直角梯形OPRE（线段EO和RP为两条底边），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km，其中曲线AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线的一部分．
（1）求曲线AF与AB，BF所围成区域的面积；
（2）求该公园的最大面积．

难度：中等

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6．椭圆E：
x2
4
+
y2
3
=1内有一点P（1，1）．
（1）求经过P并且以P为中点的弦所在直线方程；
（2）如果直线l：x=my+4与椭圆E相交于A、B两点，求
OA
•
OB
的取值范围．

难度：中等

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7．（2015秋•大庆校级期中）如图所示，曲线C由部分椭圆C₁：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C₂：y=-x²+1（y≤0）连接而成，C₁与C₂的公共点为A，B，其中C₁所在椭圆的离心率为
2
2
，
（1）求a，b的值；
（2）过点B的直线l与C₁，C₂分别交于点P，Q（P，Q，A，B中任意两点均不重合），若AP⊥AQ，求直线l的方程．

难度：较难

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8．已知中心为坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点；
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于2？若存在求出直线方程；若不存在说明理由．

难度：较难

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9．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点为F（0，1），
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F作直线l交抛物线于A，B两点，若直线AO，BO分别与直线y=x-2交于M，N两点，求|MN|的取值范围．

难度：较难

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10．已知双曲线C以椭圆
x2
4
+
y2
3
=1的顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点．过双曲线C的右焦点的直线l交双曲线于A、B两点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若△OAB的面积（其中O为坐标原点）为6，求直线l的方程．

难度：较难

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