知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．已知椭圆E₁：
x2
a2
+
y2
b2
=1，E₂：
x2
a2
+
y2
b2
=2，过E₁上第一象限上一点P作E₁的切线，交于E₂于A，B两点．
（Ⅰ）已知x²+y²=r²上一点P（x₀，y₀），则过点P（x₀，y₀）的切线方程为xx₀+yy₀=r²．类比此结论，写出椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1在其上一点P（x₀，y₀）的切线方程，并证明；
（Ⅱ）求证：|AP|=|BP|．

难度：较难

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2．已知圆M：（x-
2
）²+y²=
7
3
，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右顶点为圆M的圆心，左焦点与双曲线x²-y²=1的左顶点重合．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线l：y=kx与椭圆C分别交于两点A，B，与圆M分别交于两点G，H（其中点G在线段AB上）且|AG|=|BH|，求k的值．

难度：较难

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3．已知椭圆Γ的焦点为F₁（-1，0）、F₂（1，0），点M(1，
3
2
)在椭圆Γ上．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）设双曲线Σ：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的顶点A、B都是曲线Γ的顶点，经过双曲线Σ的右焦点F作x轴的垂线，与Σ在第一象限内相交于N，若直线MN经过坐标原点O，求双曲线Σ的离心率．

难度：较难

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4．将抛物线x2=-2
2
y向上平移
2
个单位长度后，抛物线过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的上顶点和左右焦点．
（1）求椭圆方程；
（2）若点P（m，0）满足如下条件：过点P且倾斜角为
5
6
π的直线l与椭圆相交于C、D两点，使右焦点F在以CD线段为直径的圆外，试求m的取值范围．

难度：较难

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5．已知双曲线x²-y²=2013的左、右顶点分别为M、N，点P是双曲线上异于M、N的任意一点．
（1）记直线PM、PN的斜率分别为k_PM、k_PN，求证：k_PM•k_PN为定值；
（2）若点P是双曲线上位于第一象限的点，且∠PNM=7∠PMN，求∠MPN．
（3）类比到椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，M、N为其左、右顶点，点P是椭圆上异于M、N的任意一点．k_PM•k_PN还是定值吗？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由．

难度：中等

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6．椭圆的中心在坐标原点，其左焦点F₁与抛物线y²=-4x的焦点重合，过F₁的直线l与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当直线l与x轴垂直时，
|CD|
|AB|
=2
2
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求过点F₁、O（O为坐标原点），并且与直线x=-
a2
c
（其中a为长半轴长，c为椭圆的半焦距）相切的圆的方程；
（Ⅲ）求
F2A
•
F2B
=
1
2
时直线l的方程．

难度：较易

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7．过抛物线x²=4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于点P（x₀，y₀），
PA
•
PB
=0．
（Ⅰ）求y₀；
（Ⅱ）求证：直线AB恒过定点；
（Ⅲ）设（Ⅱ）中直线AB恒过定点为F，若
FA
•
FB
+λ(
FP
)2=0恒成立，求λ的值．

难度：较难

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8．设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A（-5，0），B（5，0），点M是椭圆上异于A，B的动点，且直线AM与MB的斜率之积为-
16
25
；
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若抛物线y²=2px（p＞0）的焦点与椭圆C的右焦点重合，求抛物线上的点到直线l：3x+y+2=0的距离的最小值．

难度：中等

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9．椭圆C₁：
x2
6
+
y2
2
=1，过F₂作直线交抛物线y²=2x于A、B两点，射线OA，OB分别交椭圆C₁于点D、E，证明：
|OD||OE|
|DE|
为定值．

难度：中等

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10．已知椭圆C₁：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）与抛物线C₂：y²=4mx（m＞0）有公共焦点F₂（1，0），且3a²=4b²．
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）设直线l经过椭圆的左焦点F₁，与抛物线交于不同两点P，Q，且满足
F1P
=λ
F1Q
，求实数λ的取值范围．

难度：中等

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