知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=2，AD=4．把△DAC沿对角线AC折起到△PAC的位置，如图2所示，使得点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上，连接PB，点E，F分别为线段PA，PB的中点．
（Ⅰ）求证：平面EFH∥平面PBC；
（Ⅱ）求直线HE与平面PHB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PA上是否存在一点M，使得M到P，H，A，F四点的距离相等？请说明理由．

难度：中等

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2．已知，在多面体EF-ABCD中，已知ABCD是边长为4的正方形，EF=2，EF∥AB，平面FBC⊥平面ABCD，M，N分别是AB，CD的中点．
（1）求证：平面MNE∥平面BCF；
（2）若在△BCF中，CF=
10
，BC边上的高FH=3，求二面角E-AD-B的余弦值．

难度：中等

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3．已知如图几何体A₁C₁E₁-ABCDEF底面是边长为2的六变形，AA₁，CC₁，EE₁长度为2且都垂直与底面，
（1）求证：平面A₁C₁E₁∥平面ABCDEF
（2）求几何体A₁C₁E₁-ABCDEF的体积．

难度：中等

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4．已知平面五边形ADCEF关于BC对称，点B在AF上（如图1），DE与BC交于点G，且AD=AB=1，CD=BC=
3
，将此图形沿BC折叠成直二面角，连接AF，DE得到几何体（如图2）．
（1）证明：平面DEG∥平面ABF；
（2）求多面体ABC-DEF的体积．

难度：中等

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5．如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分别是AB、AD、AA₁的中点，
（1）求证：平面CB₁D₁∥平面MNP；
（2）求平面CB₁D₁与平面MNP的距离．

难度：中等

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6．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，AD=AB=1．
（1）若点G为线段BC的中点，证明：平面EFG∥平面PAB；
（2）在（1）的条件下，求以△EFG为底面的三棱锥C-EFG的高．

难度：中等

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7．如图，在三棱锥AB0C中．AO⊥平面BOC，∠OAB=∠OAC=
π
6
．AB=AC=2．BC=
2
，D，E分别为AB，OB的中点．
（1）求O到平面ABC的距离；
（2）在线段CB上是否存在一点F，使得平面DEF∥平面AOC，若存在，试确定F的位置，并证明此点满足要求；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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8．如图（1），已知A，B，C．P四点共面，PC上AC，AB=BC，D，F分别为AC，PC的中点，DE⊥AP于E．把平面四边形ABCP沿AC折成直二面角，如图（2）．
（1）求i正：AP⊥平面BDE；
（2）求证：平面BDF⊥平面BDE；
（3）延长AB至H，使得AB=BH，如图（3）．在AP上是否存在点Q，使得平面CHQ∥平面BDE？若存在，指出Q点位置；若不存在，说明理由．

难度：较难

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9．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2CD=2，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点，求证：（1）平面AFH∥平面PCE；（2）求V_D-AHF．

难度：中等

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10．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，其棱长为1．
（1）求证：平面AB₁C∥平面A₁C₁D；
（2）求平面AB₁C与平面A₁C₁D间的距离．

难度：中等

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