知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，AB=2，且FA=FC．
（1）求证：AC⊥平面BDEF；
（2）求三棱锥E-ABD的体积．

难度：中等

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2．（2015秋•福建校级期末）如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA₁=2，∠A1AD=
π
3
，若O为AD的中点，且CD⊥A₁O．
（Ⅰ）求证：A₁O⊥平面ABCD；
（Ⅱ）线段BC上是否存在一点P，使得二面角D-A₁A-P的大小为
π
3
？若存在，求出BP的长；若不存在，说明理由．

难度：中等

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3．（2015秋•青岛校级期末）在如图所示的几何体中．EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE=2，M是AB的中点．
（Ⅰ）求证：DM⊥平面EMC；
（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积．

难度：中等

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4．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=a，AB=2a，E为C₁D₁的中点．
（1）求证：DE⊥平面BEC；
（2）求三棱锥C-BED的体积．

难度：中等

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5．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，E是PB的中点，F是CD上的点，PH为△PAD中AD边上的高．
（Ⅰ）证明：PH⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若PH=1，AD=
2
，FC=1，求三棱锥E-BCF的体积．

难度：较难

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6．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E在B₁D₁上，且ED₁=2B₁D，AC与BD交于点O．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）求三棱锥O-CED₁的体积．

难度：中等

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7．（2015秋•宜春期末）如图，矩形ABCD所在平面与三角形ECD所在平面相交于CD，AE⊥平面ECD
（1）求证：AB⊥平面ADE；
（2）若点M在线段AE上，AM=2ME，且CD=DE=AE，求平面BCE与平面BDM所成的锐二面角的余弦值．

难度：中等

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8．如图长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=1，BC=
2
，M是AD的中点，N是B₁C₁中点．
（1）求证：NA₁∥CM；
（2）求证：平面A₁MCN⊥平面A₁BD₁；
（3）求直线A₁B和平面A₁MCN所成角．

难度：中等

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9．（2015秋•重庆校级期末）在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为1的正方形，A₁A=1且A₁B=A₁D=
2
．
（1）求证：A₁A⊥平面ABCD；
（2）求该四棱柱的内切球体积．

难度：中等

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10．如图，在直四棱ABCD-A₁B₁C₁D₁中（侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱），底面ABCD是边长为4的菱形，且∠DAB=60°，AA₁=2
3
，P、Q分别是棱A₁D₁和AD的中点，R为PB的中点．
（Ⅰ）求证：QR⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角R-QC-B的余弦值．

难度：中等

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