知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•衡阳三模）如图，已知ABCD是边长为2的正方形，EA⊥平面ABCD，FC∥EA，设EA=1，FC=2．
（1）证明：EF⊥BD；
（2）求多面体ABCDEF的体积．

难度：中等

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2．（2015秋•临沂校级月考）如图，四边形ABCD是正方形，△PAB与△PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点F是PB的中点，点E是边BC上的任意一点．
（1）求证：AF⊥EF．
（2）若PA=2，求三棱锥P-ADF的体积．

难度：中等

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3．（2015秋•沈阳校级月考）在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=AD=2A₁B₁，∠BAD=60°．
（1）求证：BB₁⊥AC．
（2）连结AC，BD，设交点O，连结B₁O．设AB=2，D₁D=2，求三棱锥B₁-ABO外接球的体积．

难度：较难

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4． PA⊥矩形ABCD所在的平面，且AB=a，AD=b．问：在BC边上是否存在一点E，使DE⊥平面PAE？若不存在，说明理由；若存在，求出恰有一点时E的位置．

难度：中等

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5．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，O是正方形AA₁B₁B的中心，AB=2
2
，C₁O⊥平面AA₁B₁B，且C₁O=2．
（1）设N为棱B₁C₁的中点，点M在平面AA₁B₁B内，且MN⊥平面A₁B₁C₁，求线段AM的长；
（2）求二面角A-BC-A₁的余弦值．

难度：较难

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6．如图，在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=AA₁=1，延长AC至D，使AC=CD，连接BD，B₁D，C₁D．
（1）求证：AC₁⊥B₁D；
（2）求六面体BB₁-A₁ADC₁的体积；
（3）求平面B₁C₁D与平面ABC所成锐二面角的正切值．

难度：中等

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7．在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱AB和BC上的动点，且AE=BF．
（1）求证：A₁F⊥C₁E；
（2）当AE=BF=
2
3
a时，求三棱锥A₁-EFC₁的体积．

难度：中等

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8．如图，四边形ABCD为矩形，DD₁⊥底面ABCD，AD=DD₁=
1
2
AB，点F为AD₁的中点．点E在棱AB上移动．
（1）证明：D₁E⊥FD；
（2）在棱AB（不包括A、B端点）上是否存在一点E，使得DF∥平面D₁CE，若存在，求出D₁E的长度；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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9．下列三个图分别是四棱锥A-BCEF的直观图、侧视图、俯视图，在直观图中，侧面ABC⊥底面BCEF，M为AC的中点，侧视图是等边三角形，俯视图是直角梯形，有关数据如图所示．
（1）求证：BM∥面AEF；
（2）求证：AE⊥BM；
（3）求该四棱锥A-BCEF的体积．

难度：较易

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10．如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得，AB=2，BD=1，AF=a．
（Ⅰ）当a=4时，求平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值；
（Ⅱ）当a为何值时在DE上存在一点P，使CP⊥平面DEF？如果存在，求出DP的长；若不存在，问题补充．

难度：中等

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