知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•湛江一模）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AD=PD=2
3
，PB=AB=6，点P在底面的正投影在DC上．
（I）证明：BD⊥PA；
（Ⅱ）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．

难度：中等

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2．（2016春•重庆校级月考）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，△PAB为等边三角形，AD⊥AB，AD∥BC，平面PAB⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：BE⊥PA；
（Ⅱ）若AD=2BC=2AB=4，求点D到平面PAC的距离．

难度：中等

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3．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，AA₁=2AB=2，E是DD₁上的一点，且满足B₁D⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥AE；
（Ⅱ）求三棱锥A-CDE的体积．

难度：中等

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4．如图（1）示，在梯形BCDE中，BC∥DE，BA⊥DE，且EA=DA=AB=2CB=2，如图（2）沿AB将四边形ABCD折起，使得平面ABCD与平面ABE垂直，M为CE的中点．

（Ⅰ）求证：BC∥面DAE；
（Ⅱ）求证：AM⊥BE；
（Ⅲ）求点D到平面BCE的距离．

难度：中等

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5．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=5，BB₁=BC=6，D，E分别是AA₁和B₁C的中点．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）求三棱锥E-BCD的体积．

难度：中等

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6．四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，2AD=BC=2a（a＞0），AD∥BC，PD=
3
a，∠DAB=θ
（Ⅰ）若θ=60°，AB=2a，Q为PB的中点，求证：DQ⊥PC；
（Ⅱ）若θ=90°，AB=
3
a，M为BC中点，试在PC上找一点N，使PA∥平面DMN．

难度：中等

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7．（2015秋•信宜市校级月考）如图，四棱锥P-ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形．
（1）求证：PC⊥AD；
（2）求点D到平面PAC的距离．

难度：中等

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8．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=CB=2，且AC⊥CB，AA₁⊥底面ABC，E为AB中点．
（Ⅰ）求证：BC⊥A₁C；
（Ⅱ）求证：BC₁∥平面A₁CE；
（Ⅲ）若AA₁=3，BP=a，且AP⊥A₁C，写出a的值（不需写过程）．

难度：中等

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9．（2015秋•潍坊校级期末）如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是等边三角形，侧面BB₁C₁C是菱形，∠B₁BC=60°．
（Ⅰ）求证：BC⊥AB₁；
（Ⅱ）若AB=a，AB₁=
6
2
a，求三棱锥C-ABB₁的体积．

难度：中等

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10．在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，AB=AD=
1
2
CD，AB⊥AD，AB∥CD，点g（x）=f（x）-x²+2x是PC的中点．
（I）求证：MB∥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角P-BC-D的余弦值；
（Ⅲ）在线段PB上是否存在点N，使得DN⊥平面PBC？若存在，请求出
PN
PB
的值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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