知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程．
（1）有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个入样．
（2）有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个入样．

难度：易

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2． 2016年10月21日，台风“海马”导致江苏、福建、广东3省11市51个县（市、区）189.9万人受灾，某调查小组调查了受灾某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出频率分布直方图．
（Ⅰ）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如表所示，在表格空白处填写正确数字，并说明能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为捐款数额超过或不超过500元和自身经济损失是否超过4000元有关？
（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样的方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列，期望E（ξ）和方差D（ξ）．
经济损失不超过4000元经济损失超过4000元总计
捐款超过500元 60
捐款不超过500元 10
总计
附： $K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，其中n=a+b+c+d
P（K²≥k₀） 0.050 0.010 0.001
k₀ 3.841 6.635 10.828

难度：较易

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3．调查某高中1000名学生的肥胖情况，得如表：
偏瘦正常肥胖
女生（人） 100 163 y
男生（人） x 187 z
已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15
（Ⅰ）求x的值
（Ⅱ）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取100名，问应在肥胖学生中抽多少名？
（Ⅲ）已知y≥194，z≥193，求肥胖学生中男生不少于女生的概率．

难度：难

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4．为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：

性别是否需要志愿	男	女
需要	40	30
不需要	160	270

（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．附： $K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$

P（k²＞k）	0.0	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

难度：较易

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5．
$2016$年$10$月$21$日，台风“海马”导致江苏、福建、广东$3$省$11$市$51$个县$($市、区$)189.9$万人受灾，某调查小组调查了受灾某小区的$100$户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成$[0,2000]$，$(2000,4000]$，$(4000,6000]$，$(6000,8000]$，$(8000,10000]$五组，并作出频率分布直方图．
$($Ⅰ$)$台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的$100$户居民捐款情况如表所示，在表格空白处填写正确数字，并说明能否在犯错误的概率不超过$0.05$的前提下认为捐款数额超过或不超过$500$元和自身经济损失是否超过$4000$元有关？
$($Ⅱ$)$将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样的方法每次抽取$1$户居民，抽取$3$次，记被抽取的$3$户居民中自身经济损失超过$4000$元的人数为$ξ$，若每次抽取的结果是相互独立的，求$ξ$的分布列，期望$E(ξ)$和方差$D(ξ)$．

经济损失不超过$4000$元经济损失超过$4000$元总计

捐款超过$500$元 $60$

捐款不超过$500$元 $10$

总计

附：$K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，其中$n=a+b+c+d$

$P(K^{2}\geqslant k_{0})$ $0.050$ $0.010$ $0.001$

$k_{0}$ $3.841$ $6.635$ $10.828$

难度：较易

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6．

某班同学利用国庆节进行社会实践，对$[25,55]$岁的人群随机抽取$n$人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：

组数	分组	低碳族的人数	占本组的频率
第一组	$[25,30)$	$120$	$0.6$
第二组	$[30,35)$	$195$	$p$
第三组	$[35,40)$	$100$	$0.5$
第四组	$[40,45)$	$a$	$0.4$
第五组	$[45,50)$	$30$	$0.3$
第六组	$[50,55]$	$15$	$0.3$

$(1)$补全频率分布直方图并求$n$，$a$，$p$的值；

$(2)$从年龄段在$[40,50)$的“低碳族”中采用分层抽样法抽取$6$人参加户外低碳体验活动，其中选取$2$人作为领队，求选取的$2$名领队中恰有$1$人年龄在$[40,45)$岁的概率．

难度：较易

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7．

为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了$500$位老年人，结果如表：

性别是否需要志愿	男	女
需要	$40$	$30$
不需要	$160$	$270$

$(1)$估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
$(2)$能否有$99\%$的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
$(3)$根据$(2)$的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由$.$附：$K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

$P(k^{2} > k)$	$0.0$	$0.010$	$0.001$
$k$	$3.841$	$6.635$	$10.828$

难度：较易

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8．
调查某高中$1000$名学生的肥胖情况，得如表：

偏瘦正常肥胖

女生$($人$)$ $100$ $163$ $y$

男生$($人$)$ $x$ $187$ $z$

已知从这批学生中随机抽取$1$名学生，抽到偏瘦男生的概率为$0.15$
$($Ⅰ$)$求$x$的值
$($Ⅱ$)$若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取$100$名，问应在肥胖学生中抽多少名？
$($Ⅲ$)$已知$y\geqslant 194$，$z\geqslant 193$，求肥胖学生中男生不少于女生的概率．

难度：难

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9．

为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了$500$位老年人，结果如下：

性别
是否需要志愿

男

女

需要

$40$

$30$

不需要

$160$

$270$

$⑴$估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

$⑵$能否有$99％$的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

$⑶$根据$(2)$的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由

附：
${K}^{2}= \dfrac{n{\left(ad-bc\right)}^{2}}{\left(a+b\right)\left(c+d\right)\left(a+c\right)\left(b+d\right)} $

难度：难

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10．有以下三个案例：
案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋检测其三聚氰胺含量；
案例二：某公司有员工800人：其中高级职称的160人，中级职称的320人，初级职称的200人，其余人员120人．从中抽取容量为40的样本，了解该公司职工收入情况；
案例三：从某校1000名学生中抽10人参加主题为“学雷锋，树新风”的志愿者活动．
（1）你认为这些案例应采用怎样的抽样方式较为合适？
（2）在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程；
（3）在你使用的系统抽样案例中按以下规定取得样本编号：如果在起始组中随机抽取的号码为L（编号从0开始），那么第K组（组号K从0开始，K=0，1，2，…，9）抽取的号码的百位数为组号，后两位数为L+31K的后两位数．若L=18，试求出K=3及K=8时所抽取的样本编号．

难度：中等

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进入组卷

	经济损失不超过\(4000\)元	经济损失超过\(4000\)元	总计
捐款超过\(500\)元	\(60\)
捐款不超过\(500\)元		\(10\)
总计

\(P(K^{2}\geqslant k_{0})\)	\(0.050\)	\(0.010\)	\(0.001\)
\(k_{0}\)	\(3.841\)	\(6.635\)	\(10.828\)

组数	分组	低碳族的人数	占本组的频率
第一组	\([25,30)\)	\(120\)	\(0.6\)
第二组	\([30,35)\)	\(195\)	\(p\)
第三组	\([35,40)\)	\(100\)	\(0.5\)
第四组	\([40,45)\)	\(a\)	\(0.4\)
第五组	\([45,50)\)	\(30\)	\(0.3\)
第六组	\([50,55]\)	\(15\)	\(0.3\)

\(P(k^{2} > k)\)	\(0.0\)	\(0.010\)	\(0.001\)
\(k\)	\(3.841\)	\(6.635\)	\(10.828\)

	偏瘦	正常	肥胖
女生\((\)人\()\)	\(100\)	\(163\)	\(y\)
男生\((\)人\()\)	\(x\)	\(187\)	\(z\)

	经济损失不超过4000元	经济损失超过4000元	总计
捐款超过500元	60
捐款不超过500元		10
总计

性别是否需要志愿	男	女
需要	\(40\)	\(30\)
不需要	\(160\)	\(270\)

	偏瘦	正常	肥胖
女生（人）	100	163	y
男生（人）	x	187	z