知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂时，都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0．给出下列命题：
①f（3）=0；
②直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[-9，-6]上为增函数；
④函数y=f（x）在[-9，9]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为（把所有正确命题的序号都填上）

难度：较难

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2．已知函数f（x）=x³+a是奇函数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求证：f（x）是（-∞，+∞）上的增函数；
（Ⅲ）若对任意的θ∈R，不等式f（sin²θ-msinθ）+f（2sinθ-3）＜0恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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3．已知f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m-n≠0时，有
f(m)-f(n)
m-n
＜0．
（1）判断函数的单调性，需要说明理由：
（2）解不等式：f（x+
1
2
）＜f（1-x）；
（3）若不等式f（x）≥t²-2at+1对∀x∈[-1，1]与∀t∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=lnx-ax²-a+2（a∈R，a为常数）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若存在x₀∈（0，1]，使得对任意的a∈（-2，0]，不等式me^a+f（x₀）＞0（其中e为自然对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．

难度：较难

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5．已知函数f（x）=x²•sinx，给出下列三个命题：
（1）f（x）是R上的奇函数；
（2）f（x）在[-
π
2
，
π
2
]上单调递增；
（3）对任意的x1，x2∈[-
π
2
，
π
2
]，都有（x₁+x₂）[f（x₁）+f（x₂）]≥0
其中真命题的序号是．

难度：中等

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6．定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期4，且x∈（0，2）时，f(x)=
3x
9x+1
．
（1）求f（x）在[-2，2]上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，2）上的单调性，并给予证明；
（3）当λ为何值时，关于方程f（x）=λ在[-2，2]上有实数解？

难度：较难

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7．已知函数f（x）=ax²-|x|+2a-1 （a为实常数）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性并给出证明；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）若a＞0，设g（x）=|f（x）-x|在区间[-2，2]上的最大值为h（a），求h（a）的表达式．

难度：较难

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8．已知矩形纸片ABCD中，AB=6cm，AD=12cm，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点B落在矩形的边AD上，且折痕MN的端点M，N分别位于边AB，BC上，设∠MNB=θ，sinθ=t，MN长度为l．
（1）试将l表示为t的函数l=f（t），并给出这个函数的定义域；
（2）判断这个函数的单调性，并给出证明；
（3）求l的最小值．

难度：中等

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9．已知定义域为R的函数f(x)=
1
2x+1
+a为奇函数．
（1）求a的值；
（2）证明函数f（x）在R上是减函数；
（3）若不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0对任意的实数t恒成立，求k的取值范围．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=
x+a
x2+2x+2
．
（I）证明：对任意实数a，存在（α，β），α＜β，使得函数f（x）在（α，β）上是增函数；
（Ⅱ）若方程f（x）=x-1有三个不同实数根，求实数a的取值范围．

难度：中等

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