知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=
1-|x|
1+|x|
+a•
1+|x|
1-|x|
（a∈R）．
（Ⅰ）当a=-1时，判断f（x）在区间（-1，1）上的单调性，并说明理由；
（Ⅱ）若a＞0时，对于区间[-
1
2
，
1
2
]上任意取的三个实数m，n，p，都存在以f（m），f（n），f（p）为边长的三角形，试求实数a的取值范围．

难度：中等

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2．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=e^2x+x²-ax，函数g（x）=f（
x
2
）-
1
4
x²+（1-b）x+b（其中a，b为常数），若函数f（x）在x=0处的切线与y轴垂直．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）的单调区间；
（Ⅲ）若s，t，r满足|s-r|＜|t-r|恒成立，则称s比t更靠近，在函数g（x）有极值的前提下，当x≥1时，
e
x
比e^x-1+b更靠近，试求b的取值范围．

难度：较难

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3．设h（x）=x+
m
x
，x∈[
1
4
，5]，其中m是不等于零的常数，
（1）m=1时，直接写出h（x）的值域；
（2）求h（x）的单调递增区间；
（3）已知函数f（x）（x∈[a，b]），定义：f₁（x）=nin{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．例如：f₁（x）=cosx，x∈[0，π]，则，f₂（x）=1，x∈[0，π]，
（理）当m=1时，设M（x）=
h(x)+h(4x)
2
+
|h(x)-h(4x)|
2
，不等式t≤M₁（x）-M₂（x）≤n恒成立，求t，n的取值范围；
（文）当m=1时，|h₁（x）-h₂（x）|≤n恒成立，求n的取值范围．

难度：中等

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4．已知f(x)=
2x
1+2x

（Ⅰ）求f（-1），f（1）的值；
（Ⅱ）求f（a）+f（-a）的值；
（Ⅲ）判别并证明函数f（x）的单调性．

难度：较易

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5．已知定义域为R的函数f(x)=
-2x+b
2x+1+2
是奇函数．
（1）求f（x）；
（2）判断函数f（x）的单调性（不必证明）；
（3）解不等式f（|x|+1）+f（x）＜0．

难度：较易

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6．定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意的x∈D，都存在常数M≥0，使|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为f（x）的一个上界．已知f(x)=log
1
2
1-ax
x-1

（1）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，求函数f（x）在区间[
5
3
，3]上的所有上界构成的集合．

难度：较易

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7．求证：函数f（x）=
x
+a在（0，+∞）上是增函数．

难度：较易

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8．判断函数f（x）=cosx-x的单调性．

难度：较易

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9．设a是实数，函数f（x）=e^2x+|e^x-a|（x∈R）．
（1）求证：函数f（x）不是奇函数；
（2）当a≤0时，判断f（x）的增减性；
（3）当a＞0时，求函数f（x）的最小值（用a表示）．

难度：中等

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10．设函数f（x）=e^mx+x²-mx（x∈R），讨论f（x）的单调性．

难度：较易

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