知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知f（x）=
2x-1
2x+1
(x∈R)．
（1）证明f（x）是奇函数；　　　
（2）证明f（x）是增函数．

难度：较易

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2．用定义法证明f(x)=
1
x+1
在（-1，+∞）上是减函数．

难度：较易

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3．已知函数f（x）=2^x+2^-x
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明
（Ⅱ）证明f（x）在[0，+∞）上为单调增函数．

难度：较易

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4．已知函数f(x)=x+
k
x
且f（1）=2．
（1）求实数k的值及函数的定义域；
（2）判断函数在（1，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．

难度：较易

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5．已知函数f（x）=x-
1
x
．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）判断函数f（x）的单调性，并加以证明；
（3）若函数f（x）在区间[2，a]上的最大值与最小值之和不小于
11a-2
2a
，求a的取值范围．

难度：中等

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6．已知函数f(x)=loga(
x2+1
+x)．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）若两个函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上恒满足|F（x）-G（x）|＞2，则称函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上是分离的．是否存在实数a使得y=f（x）的反函数y=f^-1（x）与g（x）=a^x在闭区间[1，2]上分离？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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7．已知函数f（x）=
1+x
1-x
e-ax．求证：当a＞0时，F（x）在区间（1，+∞）内单调递增．

难度：较易

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8．设a为实数，f（x）=a-
2
2x+1
．
（1）求a的值，使f（x）的图象关于原点对称；
（2）上述函数是否具有单调性，如果具有单调性，试求出单调区间并加以证明，如果没有单调性，说明理由．

难度：较易

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9．已知函数y=f（x）=3^x+
x-2
x+1
．
（1）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
（2）用反证法证明方程f（x）=0没有负数根．

难度：中等

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