知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．物理学家和数学家牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型，如果物体的初始温度为θ₁℃，空气温度为θ₀℃，则tmin后物体的温度f（t）满足：f（t）=θ₀+（θ₁-θ₀）•e^-kt（其中k为正的常数，e=2.71828…为自然对数的底数），现有65℃的物体，放在15℃的空气中冷却，5min以后物体的温度是45℃．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求从开始冷却，经过多少时间物体的温度是25.8℃？
（Ⅲ）运用上面的数据，作出函数f（t）的图象的草图．

难度：中等

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2．在直角坐标系xOy中，已知点P是反比例函数y=
2
3
x
（x＞0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．
（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，判断四边形OKPA的形状，并说明理由．
（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：
①求出点A，B，C的坐标．
②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的
1
2
？若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标；若不存在，试说明理由．

难度：较难

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3．作出下列函数的图象．
（1）y=|x-2|•（x+2）；
（2）y=|log₂（x+1）|；
（3）y=
2x-1
x-1
；
（4）y=x²-2|x|-1．

难度：较易

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4．证明函数f（x）=
2x
2x+
2
（x∈R）关于（
1
2
，
1
2
）对称．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=x|x+1|，x∈[-2，2]．
（1）画出函数y=f（x）的图象；
（2）求f（x）的值域；
（3）试根据图象关系，解不等式f（x）≥-
1
2
（x+1）．

难度：中等

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6．指出函数y=f（a-x）与y=f（x-b）（a，b为常数）的对称性，并证明你的结论．

难度：中等

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7．作出函数f（x）=|x-3|+
x2+6x+9
的图象，并指出其单调区间．

难度：中等

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8．已知函数f（x）=
2
sin（2x+
π
4
）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若函数g（x）=f（x）-k在[0，
π
2
]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．

难度：较易

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9．已知其函数f（x）=
-x2+2x(x＞0)
0(x=0)
x2+mx(x＜0)

（1）求实数m的值，并画出y=f（x）的图象
（2）若函数f（x）的图象向右平移1，得到函数y=g（x）的图象，而且函数y=g（x）在区间[0，|a|-2]上单凋递增，试求出函数y=g（x）的解析式并确定a的取值范围．

难度：中等

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10．若点A（
2
，2）在幂函数f（x）的图象上，点B（-2，
1
4
）在幂函数g（x）的图象上，定义h（x）=
f(x) f(x)≤g(x)
g(x) f(x)＞g(x)
．
（1）试求函数h（x）的最小值以及单调区间；
（2）若方程h（x）-k=0在R上有四解，求k的取值范围．

难度：中等

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