知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．若对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续的，且存在常数λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意的实数x成立，则称f（x）是λ一伴随函数，下列对于λ一伴随函数的叙述不正确的是
①f（x）=0是唯一的一个常值λ一伴随函数；
②f（x）=x²是一个λ一伴随函数；
③f（x）=2^x是一个λ一伴随函数；
④
1
2
一伴随函数至少有一个零点．

难度：较难

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2．定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，如果存在非零常数λ（λ∈R），使得对任意的x∈R，都有f（x+λ）=λf（x），则称f（x）为“倍增函数”，λ为“倍增系数”．下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）．
①函数f（x）=x是倍增函数，且倍增系数λ=1；
②函数f（x）=e^-x是倍增函数，且倍增系数λ∈（0，1）；
③若函数f（x）是可导倍增函数，则其导函数f′（x）也是倍增函数；
④若函数f（x）是倍增系数λ=-1的倍增函数，则f（x）也是周期函数；
⑤若函数f（x）=cos2ωx（ω＞0）是倍增函数，则ω=
kπ
2
（k∈N^*）．

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3．设函数f（x）=

sin

，x≠0

0，x=0

在x=0处f（x）（　　）

A．不连续

B．连续，但不可导

C．可导，但导数不连续

D．可导，且导数连续

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4．下列函数在其定义域内不是连续函数的是（　　）

A．y=x³

B．y=|x-1|

C．y=

x+2

D．y=

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5．若函数f（x）=

x2+x+3 x＞1

ax+1 x≤1

，在点x=1处连续，则f（f（

））的值为（　　）

A．10

B．20

C．15

D．25

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6．函数f(x)=

x2+2x-3

x-1

，x＞1

ax-1，x≤1

在x=1处连续，则a的值为（　　）

A．5

B．3

C．2

D．1

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7．已知函数f（x）在[a，b]上连续，定义
f1(x)=f(t)min，x∈[a，b]，a≤t≤x
f2(x)=f(t)max，x∈[a，b]，a≤t≤x
；其中f（x）_min（x∈D）表示f（x）在D上的最小值，f（x）_max（x∈D）表示f（x）在D上的最大值．若存在最小正整数k使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．有下列命题：
①若f（x）=cosx，x∈[0，π]，则f₁（x）=1，x∈[0，π]；
②若f（x）=2^x，x∈[-1，4]，则f2(x)=2x，x∈[-1，4]
③f（x）=x为[1，2]上的1阶收缩函数；
④f（x）=x²为[1，4]上的5阶收缩函数．
其中你认为正确的所有命题的序号为．

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8．函数f（x）的图象在[-2，2]上为连续不断的曲线，且满足2012^f（-x）=

2012f(x)

，且在[0，2]上是增函数，若f（log₂m）＜f[log₄（m+2）]成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．

≤m≤4

B．

≤m≤14

C．[

，2）

D．0＜m＜2

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9．已知函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的定义均为[a，b]，若g（a）•g（b）＜0，则下列判断错误的是（　　）

A．f（x）在[a，b]必有最小值

B．g（x）在[a，b]必有最大值

C．f（x）在[a，b]必有极值

D．g（x）在[a，b]必有极值

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10．已知函数f(x)=
x3-x2+ax，x≤1
lnx，x＞1
，在x=1处连续．
（I）求a的值；
（II）求函数f（x）的单调减区间；
（III）若不等式f（x）≤x+c对一切x∈R恒成立，求c的取值范围．

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