知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=2^x+k•2^-x，k∈R．
（1）若函数f（x）为奇函数，求实数k的值；
（2）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＜0成立，求实数k的取值范围．

难度：较易

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2．已知奇函数f（x）的定义域为R，当x≥0，f（x）=（
1
2
）^x-1．
（1）求函数f（x）的解析式，并判断函数在R上的单调性（不需证明，只需给出结论）；
（2）对于函数f（x）是否存在实数m，使f（2m-mcosθ）+f（-1-sin²θ）＜f（0）对所有θ∈[0，
π
2
]都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围；若不存在，说明理由．

难度：中等

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3．已知定义在R上的函数y=f（x）满足：①对于任意的x∈R，都有f(x+1)=
1
f(x)
；②函数y=f（x+1）是偶函数；③当x∈（0，1]时，f（x）=xe^x，则f(-
3
2
)，f(
21
4
)，f(
22
3
)从小到大的排列是．

难度：较难

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4．已知函数f（x）=
ex-e-x
2
，g（x）=
ex+e-x
2
．（x∈R，e=2.71828…）
（1）设a＞0，试证明以f（a），g（a），
g(2a)
的值为三边长的三角形是直角三角形；
（2）若g（a）•g（b）-f（a）•f（b）=1，对于a，b∈R成立，试求a-b的值．

难度：中等

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5．已知函数y=h（x）的图象与函数y=a^x（a＞1）的图象关于直线y=x对称，f（x）=h（x+1）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在区间[m，n]（m＞-1）上的值域为[log_a
p
m
，log_a
p
n
]，求实数p的取值范围；
（Ⅲ）设函数g（x）=log_a（x²-3x+3），F（x）=a^{f（x）-g（x）}，其中a＞1．若w≥F（x）对∀x∈（-1，+∞）恒成立，求实数w的取值范围．

难度：较难

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6．已知函数g（x）=（
1
3
）^x，
（1）求关于x的函数y=[g（x）]²-2ag（x）+3（a≤3），当x∈[-1，1]时的最小值h（a）；
（2）我们把同时满足下列两个性质的函数称为“和谐函数”：①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；②在函数的定义域内存在区间[p，q]（p＜q），使得函数在区间[p，q]上的值域为[p²，q²]．
（Ⅰ）判断（1）中h（x）是否为“和谐函数”？若是，求出p，q的值或关系式；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）若关于x的函数y=
x2-1
+t（x≥1）是“和谐函数”，求实数t的取值范围．

难度：较难

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7．已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（-x）+f（x）=0，且当x∈（-1，0）时，f（x）=-
3x
9x+1
．
（1）求函数f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性；
（3）当λ取何值时，方程f（x）=λ在（-1，1）上有实数解？

难度：较难

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8．如图，A，B是函数y=e^2x的图象上两点，分别过A B作x轴的平行线与函数y=e^x的图象交于C，D两点．
（1）求点A与原点O连成直线的斜率取值范围；
（2）若直线AB过原点O，求证直线CD也过原点O；
（3）当直线BC与y轴平行时，设B点的横坐标为x，四边形ABCD的面积为f（x），若方程2f（x）-3e^x=0在区间[t，t+1]上有实数解，求整数t的值．

难度：中等

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9．判断并证明函数f（x）=e^x（x²+ax+a+1）的单调性．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=a-b^x（b＞0）的图象过点A（2，0），B（1，2）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求f（log₄81）；
（3）解方程f（2x）=-21．

难度：中等

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