知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设命题p：实数a满足不等式3^a≤9，命题q：x²+3（3-a）x+9≥0的解集为R，已知“p∧q”为真命题，并记为条件r，且条件t：实数a满足a＜m或a＞m+
1
2
，若r是￢t的必要不充分条件，求正整数m的值．

难度：中等

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2．已知集合Ω_n={X|X=（x₁，x₂，…，x_i，…，x_n），x_i∈{0，1}，i=1，2，…，n}，其中n≥3．∀X={x₁，x₂，…，x_i，…，x_n}∈Ω_n，称x_i为X的第i个坐标分量．若S⊆Ω_n，且满足如下两条性质：
①S中元素个数不少于4个；
②∀X，Y，Z∈S，存在m∈{1，2，…，n}，使得X，Y，Z的第m个坐标分量是1；
则称S为Ω_n的一个好子集．
（1）S={X，Y，Z，W}为Ω₃的一个好子集，且X=（1，1，0），Y=（1，0，1），写出Z，W；
（2）若S为Ω_n的一个好子集，求证：S中元素个数不超过2^n-1；
（3）若S为Ω_n的一个好子集，且S中恰有2^n-1个元素，求证：一定存在唯一一个k∈{1，2，…，n}，使得S中所有元素的第k个坐标分量都是1．

难度：较难

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3．已知命题p：对∀x∈R，y=lg（mx²-4mx+m+3）有意义．
（1）若命题p为真，求实数m的取值范围；
（2）写出命题￢p，若￢p为真，求实数m的取值范围．

难度：中等

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4．（1）写出“两条平行线不相交”命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
（2）已知命题p：5是17的约数，q：5是15的约数．写出命题“p或q”“p且q”“非p”形式并判断真假：

难度：较易

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5．对于数列{x_n}，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列．某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为a₁，公差为d的无穷等差数列{a_n}的子数列问题，为此，他取了其中第一项a₁，第三项a₃和第五项a₅．
（1）若a₁，a₃，a₅成等比数列，求d的值；
（2）在a₁=1，d=3 的无穷等差数列{a_n}中，是否存在无穷子数列{b_n}，使得数列（b_n）为等比数列？若存在，请给出数列{b_n}的通项公式并证明；若不存在，说明理由；
（3）他在研究过程中猜想了一个命题：“对于首项为正整数a，公比为正整数q（q＞1）的无穷等比数列{c_n}，总可以找到一个子数列{b_n}，使得{d_n}构成等差数列”．于是，他在数列{c_n}中任取三项c_k，c_m，c_n（k＜m＜n），由c_k+c_n与2c_m的大小关系去判断该命题是否正确．他将得到什么结论？

难度：较难

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6．设命题p：函数f（x）=log_a|x|在（0，+∞）上单调递增；q：关于x的方程x²+2x+log_a
3
2
=0的解集只有一个子集．若“p∨q”为真，“（￢p）∨（￢q）”也为真，求实数a的取值范围．

难度：较难

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7．设命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足
x2-x-6≤0
x2+2x-8＞0
．
（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

难度：中等

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8．关于实数x的不等式命题p：|x-
(a+1)2
2
|≤
(a-1)2
2
与q：x²-3（a+1）x+2（3a+1）≤0（其中a∈R），若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．

难度：中等

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9．给出命题p：在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2cosx+1，2cos2x+2），Q（cosx，-1），∀x∈[0，π]，
OP
与
OQ
都不垂直．试写出￢p，并说明￢p的真假性．

难度：中等

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10．判断“函数f（x）=2^x-x²有三个零点”是否为命题．若是命题，是真命题还是假命题？说明理由．

难度：中等

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