知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=|x²-2ax+b|（x∈R），给出下列命题：
①∃a∈R，使f（x）为偶函数；
②若f（0）=f（2），则f（x）的图象关于x=1对称；
③若a²-b≤0，则f（x）在区间[a，+∞）上是增函数；
④若a²-b-2＞0，则函数h（x）=f（x）-2有2个零点．
其中正确命题的序号为．

难度：中等

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2．已知：
（1）y=x+
4
x

（2）y=sinx+
4
sinx
(0＜x＜π)
（3）y=
x2+13
x2+9

（4）y=4•2^x+2^-x
（5）y=log₃x+4log_x3（0＜x＜1）
则其中最小值是4的函数有（填入正确命题的序号）

难度：中等

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3．函数f（x）的定义域为A，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：
①函数f（x）=x²（x∈R）是单函数；
②若f（x）为单函数，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）；
③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，A中至多有一个元素与之对应；
④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．
其中正确的是．（写出所有正确的编号）

难度：中等

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4．形如y=x
1
xα
（x＞0）的函数称为“幂指型函数”，它的求导过程可概括成：取对数--两边对x求导--代入还原；例如：y=x^x（x＞0），取对数lny=xlnx，对x求导
1
y
y′=lnx+1，代入还原y′=x^x（lnx+1）；给出下列命题：
①当α=1时，函数y=x
1
xα
（x＞0）的导函数是y′=
1-lnx
x2
x
1
x
（x＞0）；
②当α＞0时，函数y=x
1
xα
（x＞0）在（0，e
1
α
）上单增，在（e
1
α
，+∞）上单减；
③当b
1
α
＞e
1
e
时，方程b^x=x^α（b＞0，b≠1，α≠0，x＞0）有根；
④当α＜0时，若方程x^α=log_bx（b＞0，b≠1，x＞0）有两根，则e
1
αe
＜b＜1；
其中正确的命题是．

难度：较难

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5．已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）=
4-8|x-
3
2
|，1≤x≤2
1
2
f(
x
2
)，x＞2
．给出下列结论：
①函数f（x）的值域为[0，4]；
②关于x的方程f(x)=(
1
2
)n(n∈N*)有2n+4个不相等的实数根；
③当x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N^*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的图形面积为S，则S=2；
④存在x₀∈[1，8]，使得不等式x₀f（x₀）＞6成立，
其中你认为正确的所有结论的序号为．

难度：较难

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6．把实数a，b，c，d排成
a c
b d
的形式，称为二行二列矩阵．对于点P（x，y），定义矩阵的一种运算(x，y)
a c
b d
=(ax+by，cx+dy)，并称（ax+by，cx+dy）为点P在矩阵
a c
b d
作用下的点．给出下列命题：
①点P（3，4）在矩阵
1 2
0 1
作用下的点为（3，10）；
②曲线y=x²上的点在矩阵
1 0
0 1
的作用下将满足方程y=-x²；
③方程组
a11x+a12y=b1
a21x+a22y=b2
可表示成矩阵运算（x，y）
a11 a12
a21 a22
=（b₁，b₂）；
④若曲线x²+4xy+2y²=1在
1 a
b 1
作用下变换成曲线x²-2y²=1，则a+b=2．
其中真命题的序号为．（填上所有真命题的序号）

难度：较难

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7．在下列五个命题中，
①函数y=tan（x+
π
4
）的定义域是 {x|x≠
π
4
+kπ，k∈Z}；
②已知sinα=
1
2
，且α∈[0，2π]，则α的取值集合是{
π
6
}；
③函数y=sin（2x+
π
3
）+sin（2x-
π
3
）的最小正周期是π；
④直线x=
π
4
是函数y=sinx+cosx图象的一条对称轴；
⑤函数y=cos²x+sinx的最小值为-1．
把你认为正确的命题的序号都填在横线上．

难度：较难

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8．下列命题：
①|
a
|+|
b
|=|
a
+
b
|是
a
，
b
共线的充要条件；
②空间任意一点O和不共线的三点A，B，C满足
OP
=2
OA
+3
OB
-4
OC
，则P，A，B，C四点共面；
③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．
其中正确的命题的序号是．

难度：中等

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9．在下列四个命题中：
①函数y=sin²x+2cos²x最小正周期是π；
②若向量
a
∥
m
，
b
∥
m
，则
a
∥
b
；
③在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，点P在AM上且满足
AP
=2
PM
，则
PA
•（
PB
+
PC
）=-4；
④函数（x）=xsinx在区间[0，
π
2
]上单调递增，在区间[-
π
2
，0]函数f（x）上单调递减．
把你认为正确的命题的序号都填在横线上．

难度：较易

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10．给出下列四个命题：
①命题“∀x∈R，x²≥0的否定是“∃x∈R，x²≤0
②线性相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个随机变量线性相关性越强；
③抛物线x=ay²（a≠0）的焦点为（0，
1
2a
）
④函数y=log₂（x²-ax+2）在[2，+∞）上恒为正，则实数a的取值范围是（-∞，
5
2
）．
其中真命题的序号是．（填上所有真命题的序号）

难度：较难

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