知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．先阅读下面的推理过程，然后完成下面问题：
在等式cos2x=2cos²x-1（x∈R）的两边对x求导，即（cos2x）′=（2cos²x-1）′；
由求导法则得（-sin2x）•2=4cosx•（-sinx）化简后得等式sin2x=2sinxcosx．
（Ⅰ）已知等式（1+x）ⁿ=
C
0
n
+
C
1
n
x+
C
2
n
x²+…+
C
n-1
n
x^n-1+
C
n
n
xⁿ（x∈R，整数n≥2），证明：n[（1+x）^n-1-1]=
n
k=2
k
C
k
n
x^k-1；
（Ⅱ）设n∈N^*，x∈R，已知（2+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，令b_n=
n(n2+1)(a0-2n-1)
a1+2a2+3a3+…+nan
，求数列{b_n}的最大项．

难度：较难

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2．设定义在R上的函数f（x）=a₀x⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x （a_i∈R，i=0，1，2，3），当x=-
2
2
时，f （x）取得极大值
2
3
，并且函数y=f′（x）的图象关于y轴对称．
（1）求f （x）的表达式；
（2）试在函数f （x）的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[-1，1]上；
（3）求证：|f（sinx）-f（cosx）|≤
2
2
3
（x∈R）．

难度：较难

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3．已知函数f（x）=x³+3ax-1，a∈R．
（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象在x=1处的切线与直线y=6x+6平行，求实数a的值；
（Ⅱ）设函数g（x）=f′（x）-6，对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0成立，求实数x的取值范围；

难度：较难

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4．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=2x²．
（Ⅰ）求x＜0时，f（x）的表达式；
（Ⅱ）令g（x）=lnx，问是否存在x₀，使得f（x），g（x）在x=x₀处的切线互相平行？若存在，请求出x₀值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x（a∈R），g（x）=
19
6
x-
1
3
．是否处在实数a，存在x₁∈[-1，1]，x₂∈[0，2]，使得f′（x₁）+2ax₁=g（x₂）成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

难度：中等

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6．给出下列命题，其中正确命题是（填序号）．
①任何常数的导数都是零；
②直线y=x上任意一点处的切线方程是这条直线本身；
③双曲线y=
1
x
上任意一点处的切线斜率都是负值；
④直线y=2x和抛物线y=x²在x∈（0，+∞）上函数值增长的速度一样快．

难度：较易

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7．已知曲线C：ax²-xy+b=0在点P（2，t）处的切线l的方程5x-y-6=0．
（1）求a，b的值；
（2）求证：曲线C上各点处的切线斜率总不小于
7
2
．

难度：中等

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8．证明：如果f（x）为（-a，a）内可导的偶（奇）函数，则导数f′（x）必为（-a，a）内的奇（偶）函数．

难度：中等

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