知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．数列{a_n}，{b_n}满足
an+1=
1
2
an+
1
2
bn
1
bn+1
=
1
2
•
1
an
+
1
2
•
1
bn
，a₁＞0，b₁＞0；
（1）求证：{a_n•b_n}是常数列；
（2）若{a_n}是递减数列，求a₁与b₁的关系；
（3）设a₁=4，b₁=1，c_n=log₃
an+2
an-2
，求{c_n}的通项公式．

难度：中等

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2．等差数列{a_n}的首项a₁=1，其前n项和为S_n，且a₃+a₅=a₄+7．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求满足不等式S_n＜3a_n-2的n的值．

难度：中等

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3．已知数列{a_n}的通项公式是a_n=
1
n2+5n+4
．
（1）你能判断该数列是递增的，还是递减的吗？
（2）该数列中有负数项吗？

难度：中等

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4．若数列{a_n}的前n项和S_n=1+32n-n²，
（1）求a_n；
（2）研究数列通项正负符号；
（3）求数列{|a_n|}的前n项和．

难度：中等

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5．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且点（a_n，s_n）在抛物线y=λx²上．
（1）求证：数列{a_n}为单调递增数列；
（2）若λ=1，证明：S_n≥(
n+1
2
)2：
（3）是否存在实数λ，使数列{a_n}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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6．已知数列{a_n}满足a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=
n2
2
-n
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{a_n}有没有最小项？若有，求出这个最小项；若没有，请说明理由．

难度：中等

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7．若数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=
an+λ
an+1
，（n∈N^*，λ＞0）．
（1）若数列{a_n}单调递减，求λ的取值范围；
（2）若λ=4，①求证：数列{|a_n-2|}单调递减；
②求证：1-（
2
3
）ⁿ≤
1
a1+2
+
1
a2+2
+…+
1
an+2
≤
n
3
（n∈N^*）

难度：中等

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8．等差数列{a_n}的第5项是5，第10项是-5，求：
（1）数列的通项公式；
（2）此数列从第几项开始为负数？

难度：较易

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9．已知数列{a_n}是单调递减数列，若a_n=-n³+n²+tn，则t的取值范围是．

难度：中等

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10．已知数列{a_n}中，a_n=an²-n，且{a_n}是递增数列，实数a的取值范围．

难度：中等

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