知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
设\(S_{n}\)为数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，且对任意\(n∈N^{*}\)时，点\((a_{n},S_{n})\)都在函数\(f(x)=- \dfrac {1}{2}x+ \dfrac {1}{2}\)的图象上．
\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((\)Ⅱ\()\)设\(b_{n}= \dfrac {3}{2}\log _{3}(1-2S_{n})+10\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)的最大值．

难度：较易

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2．
已知二次函数\(f(x)= \dfrac {1}{3}x^{2}+ \dfrac {2}{3}x.\)数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，点\((n,S_{n})(n∈N^{*})\)在二次函数\(y=f(x)\)的图象上．
\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((\)Ⅱ\()\)设\(b_{n}=a_{n}a_{n+1}\cos [(n+1)π](n∈N^{*})\)，数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，若\(T_{n}\geqslant tn^{2}\)对\(n∈N^{*}\)恒成立，求实数\(t\)的取值范围；
\((\)Ⅲ\()\)在数列\(\{a_{n}\}\)中是否存在这样一些项：\(a\;_{n_{1}}\)，\(a\;_{n_{2}}\)，\(a\;_{n_{3}}\)，\(…\)，\(a\;_{n_{k}}\)这些项都能够
构成以\(a_{1}\)为首项，\(q(0 < q < 5)\)为公比的等比数列\(\{a\;_{n_{k}}\}\)？若存在，写出\(n_{k}\)关于\(f(x)\)的表达式；若不存在，说明理由．

难度：中等

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3．
已知数列\(2\)，\( \dfrac {5}{3}\)，\( \dfrac {3}{2}\)，\( \dfrac {7}{5}\)，\( \dfrac {4}{3}…\)，则\( \dfrac {21}{19}\)是该数列中的第 ______ 项\(.\)

难度：较易

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4．
在数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=6\)，\( \dfrac {a_{n+1}}{a_{n}}= \dfrac {n+3}{n}\)，那么\(\{a_{n}\}\)的通项公式是 ______ ．

难度：较易

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5．

已知数列\(-3\)，\(7\)，\(-11\)，\(15…\)，则下列选项能表示数列的一个通项公式的是\((\)　　\()\)

A．\(a_{n}=4n-7\)

B．\(a_{n}=(-1)^{n}(4n+1)\)

C．\(a_{n}=(-1)^{n}⋅(4n-1)\)

D．\(a_{n}=(-1)^{n+1}⋅(4n-1)\)

难度：易

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6．

数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式为\(a_{n}=3n^{2}-28n\)，则数列\(\{a_{n}\}\)各项中最小项是\((\)　　\()\)

A．第\(4\)项

B．第\(5\)项

C．第\(6\)项

D．第\(7\)项

难度：较易

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7．

已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{n}= \begin{cases} \overset{(5-a)n-11,n\leqslant 5}{a^{n-4},n > 5}\end{cases}\)，且\(\{a_{n}\}\)是递增数列，则实数\(a\)的取值范围是\((\)　　\()\)

A．\((1,5)\)

B．\(( \dfrac {7}{3},5)\)

C．\([ \dfrac {7}{3},5)\)

D．\((2,5)\)

难度：较易

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8．

已知数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式是\(a_{n}= \dfrac {n-1}{n+1}\)，那么这个数列是\((\)　　\()\)

A．递增数列

B．递减数列

C．常数列

D．摆动数列

难度：较易

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9．
已知数列\(\{a_{n}\}{中},a_{1}= \dfrac {1}{2},{点}(n,2a_{n+1}-a_{n})(n∈N^{*}){在直线}y=x{上}\)，
\((\)Ⅰ\()\)计算\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)的值；
\((\)Ⅱ\()\)令\(b_{n}=a_{n+1}-a_{n}-1\)，求证：数列\(\{b_{n}\}\)是等比数列；
\((\)Ⅲ\()\)设\(S_{n}\)、\(T_{n}\)分别为数列\(\{a_{n}\}\)、\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和，是否存在实数\(λ\)，使得数列\(\{ \dfrac {S_{n}+λT_{n}}{n}\}\)为等差数列？若存在，试求出\(λ\)的值；若不存在，请说明理由．

难度：难

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10．
设数列\( \sqrt {2}\)，\( \sqrt {5}\)，\(2 \sqrt {2}\)，\( \sqrt {11}\)，\(…\)，则\( \sqrt {41}\)是这个数列的第 ______ 项\(.\)

难度：较易

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