知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知点列A_n（x_n，0）满足：
A0An
•
A1An+1
=a-1，其中n∈N，又已知x₀=-1，x₁=1，a＞1．
（1）若x_n+1=f（x_n）（n∈N^*），求f（x）的表达式；
（2）已知点B(
a
，0)，记a_n=|BA_n|（n∈N^*），且a_n+1＜a_n成立，试求a的取值范围；
（3）设（2）中的数列a_n的前n项和为S_n，试求：Sn＜
a
-1
2-
a
．

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2．已知数列{a_n}的通项公式为an=
n+1
2
，n=2k-1(k∈N*)
2
n
2
，n=2k(k∈N*).

设bn=
a2n-1
a2n
，Sn=b1+b2+…+bn．证明：当n≥6时，|Sn-2|＜
1
n
．

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3．已知：x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程x²-6x+5=0的两根，且yn=
xn+1
xn
，xn+2=(5+
1
yn
)xn+1．n∈N^*．
（1）求y₁，y₂，y₃的值；
（2）设z_n=y_ny_n+1，求证：
n
i=1
zi≥26n；
（3）求证：对∀n∈[2，+∞）有|y2n-yn|＜
1
625
•
1
26n-2
．

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4．设数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，且点（S_n-1，S_n）（n∈N^*，n≥2）在直线（2t+3）x-3ty+3t=0（t为与n无关的正实数）上．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）记数列{a_n}的公比为f（t），数列{b_n}满足b1=1，bn=f(
1
bn-1
)（n∈N^*，n≥2）．
设c_n=b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1，求数列{c_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设dn=(1+
1
3bn-1
)n（n∈N^*），证明d_n＜d_n+1．

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5．已知函数f（x）=（1-x）e^x，设Q₁（x₁，0），过P₁（x₁，f（x₁））作函数y=f（x）的图象的切线与x轴交于点Q₂（x₂，0），再过P₂（x₂，f（x₂））作函数y=f（x）的图象的切线与x轴交于点Q₃（x₃，0），…，依此下去，过P_n（x_n，f（x_n））（n∈N^*）作函数y=f（x）的图象的切线与x轴交于点Q_n+1（x_n+1，0），…．若x₁=2，
（Ⅰ）试求出x₂的值并写出x_n+1与x_n的关系；
（ II）求证：n-1＜
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
≤n-
1
2
(n∈N*)．

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