知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，对任意的n∈N^*都有a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹-2ⁿ，记b_n=
an-2n
3n
（n∈N^*）．
（1）求证：数列{b_n}为等差数列；
（2）求S_n；
（3）证明：存在k∈N^*，使得
an+1
an
≤
ak+1
ak
．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=ax+
a-1
x
+（1-2a）（a＞0）
（1）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（2）证明：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞ln（n+1）+
n
2(n+1)
（n≥1）．

难度：较难

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3．已知各项均为正数的数列{a_n}满足：a_n+1=
an
2
+
1
2
（n∈N₊）．
（1）若（a₁-1）（a₂-2）＜0，求a₁的范围；
（2）设max{a，b}表示a、b两数中较大的数．试证明：对任意的n∈N₊，都有a_n≤max{1，a₁}．

难度：较难

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4．已知数列{a_n+1}是等比数列，a₃=3，a₆=31，数列{b_n}的前n项和为S_n，b₁=1，且nS_n+1-（n+1）S_n=
1
2
n（n+1）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=
bn
an+1
，数列{c_n}的前n项和为T_n，若不等式T_n≥m-
9
2n
对于n∈N^*恒成立，求实数m的最大值．

难度：较难

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5．设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足an+Sn=An2+Bn+C（A≠0，n∈N^*）．
（1）当C=1时，
①设b_n=a_n-n，若a1=
3
2
，a2=
9
4
．求实数A，B的值，并判定数列{b_n}是否为等比数列；
②若数列{a_n}是等差数列，求
B-1
A
的值；
（2）当C=0时，若数列{a_n}是等差数列，a₁=1，且∀n∈N^*，λ-
3
n+1
≤
n
i=1
1+
1
a
2
i
+
1
a
2
i+1
，求实数λ的取值范围．

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6．已知数列{a_n}中，a₁=1，a₁=1，a_n+1=
an
an+3
（n∈N^*）．
（1）求证：{
1
an
+
1
2
}是等比数列，并求{a_n}的通项公式a_n；
（2）数列{b_n}满足b_n=（3ⁿ-1）.
n
2n
．a_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，
若不等式（-1）ⁿλ＜T_n+
n
2n-1
对一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

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7．已知单调递增的等比数列{a_n}满足：a₂+a₄=20，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_nlog
1
2
a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值．

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8．已知函数f（x）的定义域为实数集R，
（1）若函数f（x）=2^xsin（πx），证明f（x+2）=4f（x）；
（2）若f（x+T）=kf（x）（k＞0，T＞0），若f（x）=a^xφ（x）（其中a为正的常数），试证明函数φ（x）是以T为周期的周期函数；
（3）若f（x+6）=
2
f（x），且当x∈[-3，3]时，f（x）=
1
10
x（x²-9），记S_n=f（2）+f（6）+f（10）+…+f（4n-2）n∈N^*，求使得S₁、S₂、S₃…S_n小于1000都成立的最大整数n．

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9．已知等差数列{a_n}中，a₃=-13，a₅=-11，n∈N^*
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=（-1）ⁿ
.
an+1
.
（n＜16），求数列{b_n+
1
an
}的最大值和最小值；
（3）若c_n=a_n+16+
1
(an+16)2
，记数列{c_n}前n项和为S_n．
求证：
n2(n+1)+3n-1
2n
≤S_n≤
6n3+9n2+23n-2
6(2n+1)
．

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10．已知数列{a_n}中a₁=1，其前n项和记为S_n，且满足3（S₁+S₂+…+S_n）=（n+2）S_n．
（1）求数列{
Sn
(n+1)n
}的通项公式；
（2）设无穷数列b₁，b₂，…b_n，…对任意自然数m和n，不等式|b_m+n-b_m-b_n|＜
1
m+an
均成立，证明：数列{b_n}是等差数列．

难度：较难

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