知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知{a_n}，{b_n} 均为等差数列，前n项和分别为S_n，T_n．
（1）若平面内三个不共线向量
OA
，
OB
，
OC
满足
OC
=a₃
OA
+a₁₅
OB
，且A，B，C三点共线．是否存在正整数n，使S_n为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由；
（2）若对 n∈N⁺，有
Sn
Tn
=
31n+101
n+3
，求使
an
bn
为整数的正整数n的集合．

难度：中等

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2．已知非零向量列{
an
}满足：
a1
=（x₁，y₁），
an
=（x_n，y_n）=
1
2
（x_n-1-y_n-1，x_n+1+y_n+1）（n≥2，n∈N^*），
（1）证明：数列{|
an
|}是等比数列；
（2）向量
an-1
与
an
的夹角；
（3）设
a1
=（1，2），将
a1
，
a2
，
a3
…
an
，…中所有与
a1
共线的向量按原来的顺序排成一列，记作
b1
，
b2
，
b3
…
bn
，…，令
OBn
=
b1
+
b2
+
b3
+…+
bn
，O为坐标原点，求点B_n的坐标．

难度：中等

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3．若等差数列{a_n}满足a₁+2014a₂₀₁₄=2013a₂₀₁₃，O为坐标原点，点P（1，a₁），Q（2014，a₂₀₁₄），则
OP
•
OQ
= ．

难度：中等

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4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n；且向量
a
=（n，S_n），
b
=（4，n+3）共线．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）求数列{
1
nan
}的前n项和T_n．

难度：中等

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5．在数列{a_n}中，a_n+1=a_n+a（n∈N^*，a为常数），若平面上的三个不共线的非零向量
OA
，
OB
，
OC
满足
OC
=
a1
2
OA
+
a2013
2
OB
，三点A，B，C共线且该直线不过点O，则S₂₀₁₃的值为．

难度：中等

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6．已知函数f（x）=

(4-

)x+4(x≤6)

ax-5(x＞6)

，（a＞0，a≠1）．若数列{a_n}满足a_n=f（n）且a_n+1＞a_n，n∈N^*，则实数a的取值范围是（　　）

A．（7，8）

B．[7，8）

C．（4，8）

D．（1，8）

难度：较难

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7．已知边长为2的等边△ABC，O为△ABC的重心．有
OA1
=
1
2
（
OA
+
OB
），
OB1
=
1
2
（
OB
+
OC
），
OC1
=
1
2
（
OC
+
OA
），由A₁，B₁，C₁三点构成一个新的△A₁B₁C₁，面积记为S₁；
OA2
=
1
2
（
OA1
+
OB1
），
OB2
=
1
2
（
OB1
+
OC1
），
OC2
=
1
2
（
OC1
+
OA1
），再由A₂，B₂，C₂三点构成一个新的△A₂B₂C₂，面积记为S₂；
OA3
=
1
2
（
OA2
+
OB2
），
OB3
=
1
2
（
OB2
+
OC2
），
OC3
=
1
2
（
OC2
+
OA2
），再由A₃，B₃，C₃三点构成一个新的△A₃B₃C₃，面积记为S₃．按照上述规则依次作下去，作得第n个三角形为△A_nB_nC_n，面积记为S_n．
（1）求证：数列{S_n}为等比数列；
（2）令T_n=-S_nlog₄
Sn
3
，求S=T₁+T₂+T₃+…+T_n的和值．

难度：较难

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8．已知可由数列{a_n}构造一列向量：
βn
=（2a_n，a_n+1-2ⁿ⁺¹），n∈Z₊．又向量
m
=（1，3），
p
=（3a₁，7-a₂），且向量
m
与
p
垂直，以及向量
m
与
βn
平行（n∈Z₊）．
（1）试确定a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

难度：较难

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9．已知{a_n}是等差数列，S_n为其前n项和，若S₄₀₂₆-S₁=0，O为坐标原点，点M（1，-a₁）、N（2014，a₂₀₁₄），则

•

=（　　）

B．-1

C．2014

D．-2014

难度：较易

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10．已知向量
m
∥
n
，其中
m
=（
1
x3+c-1
，-1），
n
=（-1，y）（x，y，c∈R），把其中x，y所满足的关系式记为y=f（x），若函数f（x）为奇函数．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）已知数列{a_n}的各项都是正数，S_n为数列{a_n}的前n项和，且对于任意n∈N^*，都有“{f（a_n）}的前n项和”等于S_n²，求数列{a_n}的通项式；
（3）设数列{
1
anan+2
}的前n项和为S_n，不等式S_n＞
1
3
log_a（1-a）对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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