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          共50条信息

            • 1． 在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x0，y0）、直线l：ax+by+c=0，我们称δ=
              ax0+by0+c
              		a2+b2
              为点P（x0，y0）到直线l：ax+by+c=0的方向距离．
              （1）设椭圆
              x2
              4
              +y2=1              上的任意一点P（x，y）到直线l1：x-2y=0，l2：x+2y=0的方向距离分别为δ1、δ2，求δ1δ2的取值范围．
              （2）设点E（-t，0）、F（t，0）到直线l：xcosα+2ysinα-2=0的方向距离分别为η1、η2，试问是否存在实数t，对任意的α都有η1η2=1成立？若存在，求出t的值；不存在，说明理由．
              （3）已知直线l：mx-y+n=0和椭圆E：
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1              （a＞b＞0），设椭圆E的两个焦点F1，F2到直线l的方向距离分别为λ1、λ2满足λ1λ2＞b2，且直线l与x轴的交点为A、与y轴的交点为B，试比较|AB|的长与a+b的大小．
              难度：中等
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            • 2． 杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．在杨辉三角中，第0行的数1记为C00，第n行从左到右的n+1个数分别记为Cn0，Cn1，Cn2，…，Cni，…，Cnn．如图是一个11阶杨辉三角：

              （1）求第15行中从左到右的第3个数；
              （2）试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3：4：5，并 证明你的结论；
              （3）在第3斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第4斜列中，第5个数为35，我们发现1+3+6+10+15=35，事实上，一般地有这样的结论：第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m+1斜列中第k个数．试用含有m，k（m，k∈N*）的数学式子表示上述结论，并证明．
              难度：中等
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            • 3． 某纺织厂的一个车间有技术工人m名（m∈N*），编号分别为1、2、3、…、m；有n台（n∈N*）织布机，编号分别为1、2、3、…、n．定义记号aij：若第i名工人操作了第j号织布机，规定aij=1；否则，若第i名工人没有操作第j号织布机，规定aij=0．则等式a41+a42+a43+…+a4n=5的实际意义是：第    名工人共操作了    台织布机．
              难度：中等
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            • 4． 在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x，y均为整数，则称点P为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4．
              （Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是    ；
              （Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c，其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N=51，L=20，则S=    （用数值作答）．（　　）
              A．3，1，6；60
              B．3，1，6；70
              C．3，2，5；60
              D．3，2，5；70
              难度：中等
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            • 5． 已知f（1，1）=1，f（m，n）∈N*（m，n∈N*），且对任意m，n∈N*都有
              （1）f（m，n+1）=f（m，n）+1 （2）f（m+1，1）=3f（m，1）给出下列三个结论：
              ①f（1，5）=5②f（5，1）=81③f（5，6）=86．
              其中正确命题的序号为（　　）
              A．①②
              B．①③
              C．②③
              D．①②③
              难度：中等
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            • 6． 如图是某建筑物的模型，现在要给该模型进行涂色，有红，黄，蓝，绿四种颜色可用，每层只能用一种颜色，在每一层涂色时，每种颜色被使用的可能性相同．
              （1）求在1至4层中红色恰好被使用1次，黄色没有被使用的概率；
              （2）求在1至4层中红色被使用的次数X的分布列和数学期望、方差；
              （3）为了使建筑物的色彩绚丽，规定每层只能从上一层未使用的三种颜色中等可能地随机选用一种，已知第1层使用红色，若用Pn表示第n层使用红色的概率，求Pn的表达式，并求出第7层使用红色的概率．
              难度：中等
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            • 7． a是不为1的有理数，我们把
              1
              1-a
              称为a的差倒数，如：2的差倒数是
              1
              1-2
              =-1，-2的差倒数为
              1
              1-(-2)
              =
              1
              3
              ．已知a1=-
              1
              3
              ，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推．根据你对差倒数的理解完成下面问题：
              （1）a2=    ，a3=    ，a4=    ；
              （2）通过（1）中的结果计算a2013的值．
              难度：中等
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            • 8． 证明：若2-x-2y＞lnx-1n（-y）（x＞0，y＜0），则x+y＜0．
              难度：中等
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            • 9． 已知正△ABC内一点D，满足∠ADC=150°．证明：由线段AD、BD、CD为边构成的三角形是直角三角形．
              难度：中等
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            • 10． 小颖看到一卷卫生纸上标明了重量，她想验证一下，就来到物理实验室，用天平称后，正好是180克．接下来她又想知道这卷卫生纸的长度和单层卫生纸的厚度，但又不想将卫生纸全都展开．请你利用物理实验室和包装上的信息，为小颖设计一种实现想法的方案．
              产品名称：180克维达卫生纸
              产品编号：v4131
              主要原料：100%原生木浆
              执行标准：GB20810   优等品（合格）
              生产日期：见包装     保质期：三年
              规格：3层   138mm×104mm/节  净含量：180克
              难度：中等
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