知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知抛物线 x²=4y的焦点是椭圆 C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)一个顶点，椭圆C的离心率为
3
2
．另有一圆O圆心在坐标原点，半径为
a2+b2

（Ⅰ）求椭圆C和圆O的方程；
（Ⅱ）已知过点P（0，
a2+b2
）的直线l与椭圆C在第一象限内只有一个公共点，求直线l被圆O截得的弦长；
（Ⅲ）已知M（x₀，y₀）是圆O上任意一点，过M点作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个公共点，求证：l₁⊥l₂．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=e^x+ax，g（x）=e^xlnx．（其中e为自然对数的底数），
（Ⅰ）设曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线x+（e-1）y=1垂直，求a的值；
（Ⅱ）若对于任意实数x≥0，f（x）＞0恒成立，试确定实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a=-1时，是否存在实数x₀∈[1，e]，使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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3．给出下列四个结论：
①命题“∃x∈R，x²-x＞0”的否定是“∀x∈R，x²-x≤0”
②“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命题为真；
③已知直线l₁：ax+2y-1=0，l₁：x+by+2=0，则l₁⊥l₂的充要条件是
a
b
=-2；
④对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x）．
其中正确结论的序号是（填上所有正确结论的序号）

难度：中等

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4．已知经过点P（0，2）且以
d
=(1，a)为一个方向向量的直线l与双曲线3x²-y²=1相交于不同两点A、B．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若点A、B均在已知双曲线的右支上，且满足
OA
•
OB
=0，求实数a的值；
（3）是否存在这样的实数a，使得A、B两点关于直线y=
1
2
x-8对称？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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5．已知O为坐标原点，曲线C上的任意一点P到点F（0，1）的距离与到直线l：y=-1的距离相等，过点F的直线交曲线C于A、B两点，且曲线C在A、B两点处的切线分别为l₁、l₂．
（1）求曲线C的方程；
（2）求证：直线l₁、l₂互相垂直；
（3）y轴上是否存在一点R，使得直线RF始终平分∠ARB？若存在，求出R点坐标；若不存在，说明理由．

难度：较难

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6．已知A（0，1），B（1，0），C（-3，-2）三点．
（Ⅰ）证明△ABC是直角三角形；
（Ⅱ）求△ABC的面积S；
（Ⅲ）试在x轴上找一点P使|PC|-|PA|最大（不必证明），求出P点的坐标．

难度：中等

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7． “a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的条件．

难度：较易

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8． ①已知P（x₀，y₀）是直线l：f（x，y）=0外一点，则直线f（x，y）+f（x₀，y₀）=0与直线l的位置关系是；
②设a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，则直线：xsinA+ay+c=0与直线bx-ysinB+sinC=0的位置关系是．

难度：中等

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9．设定义在R上的奇函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，a，b，c，d∈R．当x=-1时，f（x）取得极大值
2
3
．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）判断函数y=f（x）的图象上是否存在两点，使得以这两点为切点的切线互相垂直，且切
点的横坐标在区间[-
2
，
2
]上，并说明理由；
（3）设x_n=1-2^-n，y_m=
2
（3^-m-1）（m，n∈N*），求证：|f（x_n）-f（y_m）|＜
4
3
．

难度：难

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