知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f(x)=
-x3+x2+bx+c(x＜1)
alnx(x≥1)
的图象过点（-1，2），且在点（-1，f（-1））处的切线与直线x-5y+1=0垂直．
（Ⅰ）求实数b，c的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值．

难度：较难

解析收藏试题篮
2．已知抛物线 x²=4y的焦点是椭圆 C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)一个顶点，椭圆C的离心率为
3
2
．另有一圆O圆心在坐标原点，半径为
a2+b2

（Ⅰ）求椭圆C和圆O的方程；
（Ⅱ）已知过点P（0，
a2+b2
）的直线l与椭圆C在第一象限内只有一个公共点，求直线l被圆O截得的弦长；
（Ⅲ）已知M（x₀，y₀）是圆O上任意一点，过M点作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个公共点，求证：l₁⊥l₂．

难度：较难

解析收藏试题篮
3．在直角坐标系xOy中，设A点是曲线C₁：y=ax³+1（a＞0）与曲线C2：x2+y2=
5
2
的一个公共点，若C₁与C₂在A点处的切线互相垂直，则实数a的值是．

难度：较难

解析收藏试题篮
4．已知直线l₁：ax-y+1=0与l₂：x+ay+1=0（a∈R），给出如下结论：
①不论a为何值时，l₁与l₂都互相垂直；
②不论a为何值时，l₁与l₂都关于直线x+y=0对称；
③当a变化时，l₁与l₂分别经过定点A（0，1）和B（-1，0）；
④当a变化时，l₁与l₂的交点轨迹是以AB为直径的圆（除去原点）．
其中正确的结论有．（把你认为正确结论的序号都填上）

难度：较难

解析收藏试题篮
5．已知函数f(x)=
2
3
x3-x．
（1）试在函数f（x）的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[-1，1]上；
（2）求证：|f(sinx)-f(cosx)|≤
2
2
3
（x∈R）

难度：较难

解析收藏试题篮
6．已知经过点P（0，2）且以
d
=(1，a)为一个方向向量的直线l与双曲线3x²-y²=1相交于不同两点A、B．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若点A、B均在已知双曲线的右支上，且满足
OA
•
OB
=0，求实数a的值；
（3）是否存在这样的实数a，使得A、B两点关于直线y=
1
2
x-8对称？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

解析收藏试题篮
7．已知定义在R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d，∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值-
2
5
．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使得在此两点处的切线互相垂直？证明你的结论．

难度：较难

解析收藏试题篮
8．已知直线l：x+3y+1=0，集合A=n|n＜10，n∈N^*，从A中任取3个元素分别作为圆方程（x-a）²+（y-b）²=r²中的a、b、r，则使圆心（a，b）与原点的连线垂直于直线l的概率等于
1
24
．（用分数表示）

难度：较难

解析收藏试题篮