知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图：A，B，C是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的顶点，点F（c，0）为椭圆的右焦点，原点O到直线CF的距离为
1
2
c，且椭圆过点(2
3
，1)．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若P是椭圆上除顶点外的任意一点，直线CP交x轴于点E，直线BC与AP相交于点D，连结DE．设直线AP的斜率为k，直线DE的斜率为k₁，问是否存在实数λ，使得λk1=k+
1
2
成立，若存在求出λ的值，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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2．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为
1
2
，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左右两焦点F₁，F₂构成的三角形中面积的最大值为
3
．
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF₂与椭圆的另一交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点P，并求
PA
•
F2C
的取值范围．

难度：较难

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3．（2016•广西模拟）如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，焦距为2
2
，直线x=-a与y=b交于点D，且|BD|=3
2
，过点B作直线l交直线x=-a于点M，交椭圆于另一点P．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：
OM
•
OP
为定值．

难度：较难

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4．已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于
3
2
，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4
5
，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆E交于A、B两个相异点，且
AP
=λ
PB
．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若
AP
=3
PB
，求m²的取值范围．

难度：中等

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5．椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点与抛物线E：y²=4x的焦点F重合，点P是椭圆C和抛物线E的一个公共点，点Q（0，1）满足QF⊥QP，则C的离心率为．

难度：中等

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6．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P为椭圆在y轴上的一个顶点，若2b，|
F1F2
|，2a成等差数列，且△PF₁F₂的面积为12，则椭圆C的方程为．

难度：较易

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7．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个焦点与抛物线y2=4
2
x的焦点重合，连接该椭圆的四个顶点所得四边形的面积为2
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同两点M、N，设椭圆C位于y轴负半轴上的短轴端点为A，若三角形AMN是以线段MN为底边的等腰三角形，求m的取值范围．

难度：较难

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8．方程

4-t

t-1

=1表示椭圆，则t的取值范围是（　　）

A．1＜t＜4

B．t＜1或t＞4

C．t＞4

D．1＜t＜

或

＜t＜4

难度：较易

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9．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为
3
2
的椭圆C过点(
2
，
2
2
)．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设B为椭圆的上顶点，P、Q为椭圆C上异于点B的任意两点．
（ⅰ）设P、Q两点的连线不经过原点，且直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围；
（ⅱ）当BP⊥BQ时，若点B在线段PQ上的射影为点M，求点M的轨迹方程．

难度：中等

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10．一动点到两定点A（0，
9
4
）、B（0，-
9
4
）的距离之和为
41
2
，则它的轨迹方程为．

难度：较易

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