知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知斜率为$k$的直线$l$与椭圆$C$：$ \dfrac {x^{2}}{4}+ \dfrac {y^{2}}{3}=1$交于$A$，$B$两点，线段$AB$的中点为$M(1,m)(m > 0)$．
$(1)$证明：$k < - \dfrac {1}{2}$；
$(2)$设$F$为$C$的右焦点，$P$为$C$上一点，且$ \overrightarrow{FP}+ \overrightarrow{FA}+ \overrightarrow{FB}= \overrightarrow{0}.$证明：$| \overrightarrow{FA}|$，$| \overrightarrow{FP}|$，$| \overrightarrow{FB}|$成等差数列，并求该数列的公差．

难度：较易

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2．
设椭圆$ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)$的左焦点为$F$，上顶点为$B.$已知椭圆的离心率为$ \dfrac { \sqrt {5}}{3}$，点$A$的坐标为$(b,0)$，且$|FB|⋅|AB|=6 \sqrt {2}$．
$($Ⅰ$)$求椭圆的方程；
$($Ⅱ$)$设直线$l$：$y=kx(k > 0)$与椭圆在第一象限的交点为$P$，且$l$与直线$AB$交于点$Q.$若$ \dfrac {|AQ|}{|PQ|}= \dfrac {5 \sqrt {2}}{4}\sin ∠AOQ(O$为原点$)$，求$k$的值．

难度：中等

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3．
设椭圆$ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)$的右顶点为$A$，上顶点为$B.$已知椭圆的离心率为$ \dfrac { \sqrt {5}}{3}$，$|AB|= \sqrt {13}$．
$($Ⅰ$)$求椭圆的方程；
$($Ⅱ$)$设直线$l$：$y=kx(k < 0)$与椭圆交于$P$，$Q$两点，$1$与直线$AB$交于点$M$，且点$P$，$M$均在第四象限$.$若$\triangle BPM$的面积是$\triangle BPQ$面积的$2$倍，求$k$的值．

难度：较易

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4．
已知椭圆$M$：$ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)$的离心率为$ \dfrac { \sqrt {6}}{3}$，焦距为$2 \sqrt {2}.$斜率为$k$的直线$l$与椭圆$M$有两个不同的交点$A$，$B$．
$($Ⅰ$)$求椭圆$M$的方程；
$($Ⅱ$)$若$k=1$，求$|AB|$的最大值；
$($Ⅲ$)$设$P(-2,0)$，直线$PA$与椭圆$M$的另一个交点为$C$，直线$PB$与椭圆$M$的另一个交点为$D.$若$C$，$D$和点$Q(- \dfrac {7}{4}, \dfrac {1}{4})$共线，求$k$．

难度：较易

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5．过点（3，2）且与椭圆3x²+8y²=24有相同焦点的椭圆方程为（　　）

A． $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B5%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B10%7D%3D1$

B． $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B10%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B15%7D%3D1$

C． $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B15%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B10%7D%3D1$

D． $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B25%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B10%7D%3D1$

难度：较易

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6．
设椭圆$ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)$的左焦点为$F$，右顶点为$A$，离心率为$ \dfrac {1}{2}.$已知$A$是抛物线$y^{2}=2px(p > 0)$的焦点，$F$到抛物线的准线$l$的距离为$ \dfrac {1}{2}$．
$(I)$求椭圆的方程和抛物线的方程；
$(II)$设$l$上两点$P$，$Q$关于$x$轴对称，直线$AP$与椭圆相交于点$B(B$异于$A)$，直线$BQ$与$x$轴相交于点$D.$若$\triangle APD$的面积为$ \dfrac { \sqrt {6}}{2}$，求直线$AP$的方程．

难度：较易

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7．
已知椭圆$ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)$的左焦点为$F(-c,0)$，右顶点为$A$，点$E$的坐标为$(0,c)$，$\triangle EFA$的面积为$ \dfrac {b^{2}}{2}$．
$(I)$求椭圆的离心率；
$(II)$设点$Q$在线段$AE$上，$|FQ|= \dfrac {3}{2}c$，延长线段$FQ$与椭圆交于点$P$，点$M$，$N$在$x$轴上，$PM/\!/QN$，且直线$PM$与直线$QN$间的距离为$c$，四边形$PQNM$的面积为$3c$．
$(i)$求直线$FP$的斜率；
$(ii)$求椭圆的方程．

难度：难

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8．
已知椭圆$C$：$ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)$，四点$P_{1}(1,1)$，$P_{2}(0,1)$，$P_{3}(-1, \dfrac { \sqrt {3}}{2})$，$P_{4}(1, \dfrac { \sqrt {3}}{2})$中恰有三点在椭圆$C$上．
$(1)$求$C$的方程；
$(2)$设直线$l$不经过$P_{2}$点且与$C$相交于$A$，$B$两点$.$若直线$P_{2}A$与直线$P_{2}B$的斜率的和为$-1$，证明：$l$过定点．

难度：难

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9．
已知椭圆$C$的两个顶点分别为$A(-2,0)$，$B(2,0)$，焦点在$x$轴上，离心率为$ \dfrac { \sqrt {3}}{2}$．
$($Ⅰ$)$求椭圆$C$的方程；
$($Ⅱ$)$点$D$为$x$轴上一点，过$D$作$x$轴的垂线交椭圆$C$于不同的两点$M$，$N$，过$D$作$AM$的垂线交$BN$于点$E.$求证：$\triangle BDE$与$\triangle BDN$的面积之比为$4$：$5$．

难度：较难

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