知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知k∈R，曲线C：kx²+y²=1．
（1）当k=-
1
3
时，求曲线C的顶点坐标、准线方程；
（2）讨论曲线C：kx²+y²=1的类型．

难度：中等

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2．（1）双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程y=
4
3
x，右焦点F（5，0），求双曲线方程；
（2）若抛物线x=
1
8
y²的准线经过F点且椭圆C经过P（2，3），求此时椭圆C的方程．

难度：中等

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3．已知动圆C经过点（0，m）（m＞0），且与直线y=-m相切，圆C被x轴截得弦长的最小值为1．记该圆圆心的轨迹为E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）是否存在曲线C与曲线E的一个公共点，使它们在该点处有相同的切线？若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由．

难度：中等

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4．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）和双曲线
x2
m2
-
y2
n2
=1（m＞0，n＞0）有公共的焦点F₁，F₂，P是两曲线的一个交点．求证：
（1）|PF1|•|PF2|=a2-m2
（2）S_△F1PF2=bn
（3）tan
∠F1PF2
2
=
n
b
．

难度：较难

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5．（1）已知双曲线与椭圆
x2
25
+
y2
9
=1共焦点，它们的离心率之和为
14
5
，求双曲线方程．
（2）P为椭圆
x2
100
+
y2
64
=1上的一点，F₁和F₂是其焦点，若∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面积．

难度：中等

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6．已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦点F₂与抛物线C2：y2=4x的焦点重合，椭圆C₁与抛物线C₂在第一象限的交点为P，|PF2|=
5
3
，求椭圆C₁的方程．

难度：较易

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7．已知圆锥曲线C：
x2
16
+
y2
t2-2t
=1（t≠0且t≠2），其两个不同的焦点F₁、F₂同在x轴上．
（1）试根据t不同的取值范围来讨论C所表示的圆锥曲线；
（2）试在曲线C上求满足
PF1
•
PF2
=0的点P的个数，并求出相应的t的取值范围．

难度：较难

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8．已知方程kx²+y²=4，其中k∈R，试就k的不同取值讨论方程所表示的曲线类型．

难度：中等

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