知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．给出下列命题：
①双曲线
x2
25
-
y2
9
=1与椭圆
x2
35
+y²=1有相同的焦点；
②过点P（2，1）的抛物线的标准方程是y²=
1
2
x；
③已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1，若它的离心率为
5
，则双曲线C的一条渐近线方程为y=2x；
④椭圆
x2
m+1
+
y2
m
=1的两个焦点为F₁，F₂，P为椭圆上的动点，△PF₁F₂的面积的最大值为2，则m的值为2．
其中真命题的序号为．（写出所有真命题的序号）

难度：中等

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2．下列四个关于圆锥曲线的命题：
①已知M（-2，0）、N（2，0），|PM|+|PN|=3，则动点P的轨迹是一条线段；
②从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于它的虚半轴长；
③双曲线
x2
16
-
y2
9
=1与椭圆
x2
16
+
y2
9
=1有相同的焦点；
④关于x的方程x²-mx+1=0（m＞2）的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率．
其中正确的命题是．（填上你认为正确的所有命题序号）

难度：中等

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3．以下五个关于圆锥曲线的命题中：
①双曲线
x2
16
-
y2
9
=1与椭圆
x2
49
+
y2
24
=1有相同的焦点；
②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的．
③设A、B为两个定点，k为常数，若|PA|-|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
④过定圆C上一点A作圆的动弦AB，O为原点，若
OP
=
1
2
(
OA
+
OB
)，则动点P的轨迹为椭圆．
其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）

难度：较难

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4．已知方程
x2
m-1
+
y2
2-m
=1．
（1）当实数m取何值时，此方程分别表示圆、椭圆、双曲线？
（2）若命题q：实数m满足方程
x2
m-1
+
y2
2-m
=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题p：实数m满足m²-7am+12a²＜0（a＜0），且非q是非p的充分不必要条件，求a的取值范围．

难度：中等

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5．已知椭圆C₁，抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于表中：
x 3 -2 4
3
y -2
3
0 -4
1
2
（1）求C₁、C₂的标准方程；
（2）请问是否存在直线l满足条件：①过C₂的焦点F；②与C₁交不同两点M、N，且满足
OM
⊥
ON
？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

难度：较难

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6．对于圆锥曲线，给出以下结论：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，|
PA
|-|
PB
|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若
OP
=
1
2
（
OA
+
OB
），则动点P的轨迹为圆；
③方程4x²-12x+5=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线
x2
16
-
y2
9
=1与椭圆
x2
35
+
y2
10
=1有相同的焦点．
⑤椭圆C：
x2
2
+y²=1上满足
MF1
•
MF2
=0的点M有4个（其中F₁，F₂为椭圆C的焦点）．
其中正确结论的序号为（写出所有正确结论的序号）．

难度：较难

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7．已知直线：
sinθ
a
x+
cosθ
b
y=1（a，b为给定的正常数，θ为参数，θ∈[0，2π））构成的集合为S，给出下列命题：
①当θ=
π
4
时，S中直线的斜率为
b
a
；
②S中所有直线均经过一个定点；
③当a=b时，存在某个定点，该定点到S中的所有直线的距离均相等；
④当a＞b时，S中的两条平行直线间的距离的最小值为2b；
⑤S中的所有直线可覆盖整个平面．
其中正确的是（写出所有正确命题的编号）．

难度：较难

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8．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线过椭圆
x2
4
+
y2
16
=1和椭圆
ax2
16
+
y2
4
=1（a≤1）的交点，则双曲线的离心率的取值范围是．

难度：较难

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9．已知椭圆E的右焦点F₂与抛物线y2=4
3
x的焦点重合，对称轴为坐标轴，且经过点A(1，
3
2
)．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点D(0，
5
3
)且斜率存在的直线l交椭圆E于M、N两点，线段MN的中点为Q，点B（-1，0），当l⊥QB时，求直线l的方程．

难度：较难

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10．已知曲线C上动点P（x，y）到定点F₁（
3
，0）与定直线l₁：x=
4
3
3
的距离之比为常数
3
2
．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）若过点Q（1，
1
2
）引曲线C的弦AB恰好被点Q平分，求弦AB所在的直线方程；
（3）以曲线C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）²+y²=r²（r＞0），设圆T与曲线C交于点M与点N，求
TM
•
TN
的最小值，并求此时圆T的方程．

难度：中等

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