知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．则椭圆的长轴长为．

难度：中等

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2．已知抛物线和椭圆都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．则椭圆的焦点坐标为．

难度：中等

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3．若抛物线C₁：y=

x²的焦点F到双曲线C₂：

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为

，抛物线C₁上的动点P到双曲线C₂的一个焦点的距离与到直线y=-1的距离之和的最小时为

，则双曲线C₂的方程为（　　）

A．

-y²=1

B．x²-

C．

D．

难度：较难

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4． P是圆x²+y²=4上任意一点，P在x轴上的射影为M点，N是PM的中点，点N的轨迹为曲线C，曲线C₁的方程为：
x²=8（y-m）（m＞0）
（1）求轨迹C的方程；
（2）若曲线C与曲线C₁只有一个公共点，求曲线C₁的方程；
（3）在（2）的条件下，求曲线C和曲线C₁都只有一个交点的直线l方程．

难度：较难

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5．已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂且F₂恰为抛物线x=
1
4
y2的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF₁F₂是以AF₁为底边的等腰三角形，则双曲线C的方程为．

难度：较难

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6．如图，曲线E是由抛物线弧E₁：y²=4x（0≤x≤
2
3
）与椭圆弧E₂：
x2
a2
+
y2
b2
=1（
2
3
≤x≤a）所围成的封闭曲线，且E₁与E₂有相同的焦点．
（Ⅰ）求椭圆弧E₂的方程；
（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线与曲线E交于A，B两点，|FA|=r₁，|FB|=r₂，且∠AFx=α（0≤α≤π），试用cosα表示r₁；并求
r1
r2
的取值范围．

难度：较难

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7．设A，B分别是直线y=
2
5
5
x和y=-
2
5
5
x上的两个动点，并且|
AB
|=
20
，动点P满足
OP
=
OA
+
OB
，记动点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若点D的坐标为（0，16），M，N是曲线C上的两个动点，并且
DM
=λ
DN
，求实数λ的取值范围；
（3）M，N是曲线C上的任意两点，并且直线MN不与y轴垂直，线段MN的中垂线l交y轴于点E（0，y₀），求y₀的取值范围．

难度：较难

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8．已知椭圆K 1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦点F（c，0），抛物线K₂：x²=2py（p＞0）的焦点为G，椭圆K₁与抛物线K₂在第一象限的交点为M，若抛物线K₂在点M处的切线l经过椭圆K₁的右焦点，且与y轴交于点D．
（1）若点M（2，1），求c；
（2）求a、c、p的关系式；
（2）试问△MDG能否为正三角形？若能请求出椭圆的离心率，若不能请说明理由．

难度：较难

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9．已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），且点M（1，e）和N(e，
3
2
)都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）是否存在直线l同时与椭圆C₁和抛物线C2：y2=4x都相切？若存在，求出该直线l的方程；若不存在，说明理由．

难度：较难

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10．已知抛物线C：x²=y的焦点为F，过抛物线C上两个不同的点A，B的切线相交于点P．
（1）若P在直线y=-1上，则直线AB是否恒过某个定点M？若是，请求点M的坐标；若不是，请说明理由．
（2）（文科）若P在直线y=-1上，求
AF
•
BF
|
AF
|+|
BF
|
的最大值．
（理科）若P在直线y=-1上，求
cos＜
AF
，
BF
＞
|
AF
|
|
BF
|
+
|
BF
|
AF
+2
的取值范围．
（3）（理科）动点G满足
GA
+
GB
+λ
GP
=
0
，是否存在实数λ，使G在曲线C上？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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