知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016春•重庆校级月考）如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2，CD=1，侧面PBC⊥底面ABCD，点F在线段AP上，且满足
PF
=λ
PA
．
（1）证明：PA⊥BD；
（2）当λ取何值时，直线DF与平面ABCD所成角为30°？

难度：中等

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2．如图所示，己知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分别是CC₁，BC的中点，P点在A₁B₁上，且满足
A1P
=λ
A1B1
（λ∈R）．
（I）证明：PN⊥AM；
（II）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求出该最大角的正切值；
（III）在（II）条件下求P到平而AMN的距离．

难度：中等

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3．如图，已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=
3
．
（1）求证：AC⊥BF；
（2）求二面角F-BD-A的余弦值；
（3）求点A到平面FBD的距离．

难度：中等

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4．如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4．
（1）求证：AC⊥BC₁；
（2）在AB上是否存在点D，使得AC₁∥平面CDB₁，若存在，确定D点位置并说明理由，若不存在，说明理由．

难度：中等

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5．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且侧面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求证：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一点E，使得二面角E-BD-A的大小为45°，若存在，试求
AE
AP
的值，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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6．如图五面体中，平面ABCD⊥平面BFEC，AB=AD=BF=EF=1，CB=CD=CE=
3
，AB⊥BC，FB⊥BC，AD⊥DC，FE⊥EC．
（1）证明：AF∥DE；
（2）求二面角E-AD-B的余弦值．

难度：中等

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7．如图，ABCD是边长为2的正方形，面EAD⊥面ABCD，且EA=ED，O是线段AD的中点，过E作直线l∥AB，F是直线l上一动点．
（1）求证：OF⊥BC；
（2）若直线l上存在唯一一点F使得直线OF与平面BCF垂直，求二面角B-OF-C的余弦值．

难度：中等

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8．若△ABC中，∠C=90°，A（1，2，-3k），B（-2，1，0），C（4，0，-2k），则k的值为（　　）

A．

B．-

C．2

D．±

难度：较难

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9．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于．

难度：较难

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10．已知正方形ABCD，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F．求证：DP⊥EF．

难度：中等

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