知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了下面的体积计算的原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面面积．意思是，若两等高的几何体在同高处截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等．现有一旋转体D，它是由抛物线y=x²（x≥0），直线y=4及y轴围成的封闭图形如图1所示绕y轴旋转一周形成的几何体，利用祖暅原理，以长方体的一半为参照体（如图2所示）则旋转体D的体积是（　　）

A． $%20%5Cfrac%20%7B16%CF%80%7D%7B3%7D$

B．6π

C．8π

D．16π

难度：较易

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2．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，则该圆锥的侧面积与底面积的比等于（　　）

A．3

B．2

C．

D．

难度：较易

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3．将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r₁ ， r₂ ， r₃ ，那么r₁+r₂+r₃的值为（）

A． $\text{[math]}$

B．2

C． $\text{[math]}$

D．1

难度：中等

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4．我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书，这就是历来被尊为算经之首的《九章算术》，其中卷第五《商功》有一道关于圆柱体的体积试题：今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？其意思是：含有圆柱形的土筑小城堡，底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若π取3，估算小城堡的体积为（）

A．1998立方尺

B．2012立方尺

C．2112立方尺

D．2324立方尺

难度：中等

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5．请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积雪之用）．它的上部是底面圆半径为5m的圆锥，下部是底面圆半径为5m的圆柱，且该仓库的总高度为5m．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为4百元/m²，1百元/m²，设圆锥母线与底面所成角为θ，且θ∈（0， $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ ），问当θ为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：百元）最少？并求出此时圆锥的高度．

难度：较易

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6．已知圆柱的底面半径为r，高为h，体积为2，表面积为12，则 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Br%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bh%7D$ = ______ ．

难度：易

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7．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为 ______ ．

难度：较易

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8．圆台的侧面积为
16
3
πcm²，它的内切球的表面积是4πcm²，则圆台的体积为 cm³．

难度：较易

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9．某机器零件是如图所示的几何体（实心），零件下面是边长为10cm的正方体，上面是底面直径为4cm，高为10cm的圆柱．
（Ⅰ）求该零件的表面积；
（Ⅱ）若电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌0.11kg，问制造1000个这样
的零件，需要锌多少千克？（注：π取3.14）

难度：中等

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10．下面命题正确的有个．
①长方形绕一条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱
②过圆锥侧面上一点有无数条母线
③三棱锥的每个面都可以作为底面
④圆锥的轴截面（过轴所作的截面）是等腰三角形．

难度：中等

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