知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（1）定理：平面内的一条直线与平面的一条斜线在平面内的射影垂直，则这条直线垂直于斜线．
试证明此定理：如图1所示：若PA⊥α，A是垂足，斜线PO∩α=O，a⊂α，a⊥AO，试证明a⊥PO

（2）如图2，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在侧面BCC₁B₁及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD₁，试证明动点P在线段B₁C上．

难度：中等

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2．（2016•南充模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AD∥BC，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=AB=BC=2，AD=1．
（Ⅰ）试作出平面PAB与平面PCD的交线EP（不需要说明画法和理由）；
（Ⅱ）求证：直线EP⊥平面PBC．

难度：中等

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3．（2016•青岛一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA=45°，AP=AD=AC=2，E、F、H分别为PA、CD、PF的中点．
（Ⅰ）设面PAB∩面PCD=l，求证：CD∥l；
（Ⅱ）求证：AH⊥面EDC．

难度：中等

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4．如图直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠BAD=90°，AA₁=AB=2CD=4，AD=2，E、F、G分别是侧棱BB₁、C₁C、DD₁上的点，BE=2，DG=3．
（Ⅰ）若CF=2，求证：A₁，E，F，G四点共面；
（Ⅱ）若面EFG与面A₁ADD₁所成二面角（锐角）的余弦值为
6
6
，求CF长度．

难度：中等

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5．（2015秋•北京校级期中）如图所示，△ABC是正三角形，线段EA和DC都垂直于平面ABC，设EA=AB=2a，且F为的BE中点
（1）画出平面BDE与平面ABC的交线（写出画法）
（2）求证：DF∥平面ABC
（3）求证：AF⊥BD．

难度：中等

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6．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．E是AA₁的中点，画出过D₁，C，E的平面与平面ABB₁A₁的交线，并说明理由．

难度：中等

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7．如图所示，在正方体AC₁中，E，F分别是AB，AA₁的中点．
（1）求证：CE，D₁F，DA三线交于点P；
（2）在（1）的结论中，G是D₁E上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线．

难度：中等

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8．在三角形、四边形、正六边形和圆中，一定是平面图形的有．

难度：中等

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