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          共50条信息

            • 1．
              如图，在三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，\(AB⊥\)平面\(AA_{1}C_{1}C\)，\(AA_{1}=AC.\)过\(AA_{1}\)的平面交\(B_{1}C_{1}\)于点\(E\)，交\(BC\)于点\(F\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(A_{1}C⊥\)平面\(ABC_{1}\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求证：\(A_{1}A/\!/EF\)；
              \((\)Ⅲ\()\)记四棱锥\(B_{1}-AA_{1}EF\)的体积为\(V_{1}\)，三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)的体积为\(V.\)若\( \dfrac {V_{1}}{V}= \dfrac {1}{6}\)，求\( \dfrac {BF}{BC}\)的值．
              难度：较易
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            • 2．
              如图，三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，\(AB⊥\)平面\(AA_{1}C_{1}C\)，\(AA_{1}=AB=AC=2\)，\(∠A_{1}AC=60^{\circ}.\)过\(AA_{1}\)的平面交\(B_{1}C_{1}\)于点\(E\)，交\(BC\)于点\(F\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(A_{1}C⊥\)平面\(ABC_{1}\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求证：四边形\(AA_{1}EF\)为平行四边形；
              \((\)Ⅲ\()\)若\( \dfrac {BF}{BC}= \dfrac {2}{3}\)，求二面角\(B-AC_{1}-F\)的大小．
              难度：较易
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            • 3．
              如图，在底面是菱形的四棱锥\(P-ABCD\)中，\(PA⊥\)平面\(ABCD\)，\(∠ABC=60^{\circ}\)，\(PA=AB=2\)，点\(E\)，\(F\)分别为\(BC\)，\(PD\)的中点，设直线\(PC\)与平面\(AEF\)交于点\(Q\)．
              \((1)\)已知平面\(PAB∩\)平面\(PCD=l\)，求证：\(AB/\!/l\)．
              \((2)\)求直线\(AQ\)与平面\(PCD\)所成角的正弦值．
              难度：较易
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            • 4．

              如图，三棱柱\(ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)中，\(AB\bot \)平面\(A{{A}_{1}}{{C}_{1}}C\)，\(A{{A}_{1}}=AB=AC=2\)，\(\angle {{A}_{1}}AC={{60}^{{}^\circ }}\)．过\(A{{A}_{1}}\)的平面交\({{B}_{1}}{{C}_{1}}\)于点\(E\)，交\(BC\)于点\(F\)．



              \((\)Ⅰ\()\)求证：\({{A}_{1}}C\bot \)平面\(AB{{C}_{1}}\)；

              \((\)Ⅱ\()\)求证：四边形\(A{{A}_{1}}EF\)为平行四边形；

              \((\)Ⅲ\()\)若\(\dfrac{BF}{BC}=\dfrac{2}{3}\)，求二面角\(B-A{{C}_{1}}-F\)的大小．

              难度：较难
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            • 5． 如图，\(\triangle ABC\)中，\(AC=2\)，\(BC=4\)，\(∠ACB=90^{\circ}\)，\(D\)、\(E\)分别是\(AC\)、\(AB\)的中点，将\(\triangle ADE\)沿\(DE\)折起成\(\triangle PDE\)，使面\(PDE⊥\)面\(BCDE\)，\(H\)、\(F\)分别是边\(PD\)和\(BE\)的中点，平面\(BCH\)与\(PE\)、\(PF\)分别交于点\(I\)、\(G\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(IH/\!/BC\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求二面角\(P-GI-C\)的余弦值．
              难度：较易
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            • 6．

              如图，\(AB/\!/\)平面\(\alpha /\!/\)平面\(\beta \)，过\(A\)，\(B\)的直线\(m\)，\(n\)分别交\(\alpha \)、\(\beta \)于\(C\)，\(E\)和\(D\)，\(F\)，若\(AC=2\)，\(CE=3\)，\(BF=4\)，则\(BD\)的长为____________．


              难度：难
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            • 7．

              如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，\(PA⊥\)底面\(ABCD\)，底面\(ABCD\)为梯形，\(AD/\!/BC\)，\(CD=\)\(\sqrt{5}\) ，\(PA=AD=AB=2BC=2\)，过\(AD\)的平面分别交\(PB\)，\(PC\)于\(M\)，\(N\)两点．


              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(MN/\!/BC\)；

              \((\)Ⅱ\()\)若\(M\)为\(PB\)的中点，求二面角\(P-DN-A\)的余弦值．

              难度：难
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            • 8．

              已知\(m\)，\(n\)表示两条不同直线，\(α\)表示平面\(.\)下列说法正确的是\((\)  \()\)

              A．若\(m/\!/α\)，\(n/\!/α\)，则\(m/\!/n\)                      
              B．若\(m⊥α\)，\(n⊂α\)，则\(m⊥n\)
              C．若\(m⊥α\)，\(m⊥n\)，则\(n/\!/α\)                      
              D．若\(m/\!/α\)，\(m⊥n\)，则\(n⊥α\)
              难度：中等
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            • 9．

              已知四棱锥\(P-ABCD\)，底面\(ABCD\)是\(\angle A={{60}^{\circ }}\)、边长为\(2\)的菱形，又，且\(PD=CD\)，点\(M\)、\(N\)分别是棱\(AD\)、\(PC\)的中点．



              \((1)\)证明：\(DN/\!/\)平面\(PMB\)；

              \((2)\)证明：平面 \(PMB\bot \)平面\(PAD\)；

              \((3)\)求二面角\(P-BC-D\)的余弦。

              难度：中等
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            • 10．

              如图\(1\)，在梯形\(ABCD\)中，\(AB/\!/CD\)，\(\angle ABC={{90}^{\circ }}\)，\(AB=2CD=2BC=4\)，\(O\)是边\(AB\)的中点\(.\) 将三角形\(AOD\)绕边\(OD\)所在直线旋转到\({{A}_{1}}OD\)位置，使得\(\angle {{A}_{1}}OB={{120}^{\circ }}\)，如图\(2.\) 设\(m\)为平面\({{A}_{1}}DC\)与平面\({{A}_{1}}OB\)的交线．



              \((\)Ⅰ\()\)判断直线\(DC\)与直线\(m\)的位置关系并证明；

              \((\)Ⅱ\()\)若直线\(m\)上的点\(G\)满足\(OG\bot {{A}_{1}}D\)，求出\({{A}_{1}}G\)的长；

              \((\)Ⅲ\()\)求直线\({{A}_{1}}O\)与平面\({{A}_{1}}BD\)所成角的正弦值．\(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)

              难度：中等
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