知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•宁德模拟）在四棱锥P-ABCD中，△ABC，△ACD都为等腰直角三角形，∠ABC=∠ACD=90°，E为PA的中点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PCD；
（Ⅱ）若△PAC是边长为2的等边三角形，PB=
2
，求三棱锥P-BEC的体积．

难度：中等

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2．（2016•南通模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面PAD，AB∥CD，CD=2AB=2BC，M，N分别是棱PA，CD的中点．
（1）求证：PC∥平面BMN；
（2）求证：平面BMN⊥平面PAC．

难度：中等

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3．（2016•海南校级模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，已知AB⊥AD，AD⊥DC．PA⊥底面ABCD，且AB=2，PA=AD=DC=1，M为PC的中点，N在AB上，且BN=3AN．
（1）求证：平面PAD⊥平面PDC；
（2）求证：MN∥平面PAD；
（3）求三棱锥C-PBD的体积．

难度：中等

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4．（2016•成都模拟）在三棱柱ABC-A₁B_lC₁中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB=90°，且AC=1，AB=2，E为BB₁的中点，M为AC上一点，AM=
2
3
AC．
（I）若三棱锥A₁-C₁ME的体积为
2
6
，求AA₁的长；
（Ⅱ）证明：CB₁∥平面A₁EM．

难度：较易

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5．（2016•江西模拟）如图，已知四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA₁=6，且A₁A⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD₁，BC上，BQ=4．
（1）若DP=
2
3
DD₁，证明：PQ∥平面ABB₁A₁；
（2）若P是D₁D的中点，证明：AB₁⊥平面PBC．

难度：中等

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6．（2016•南通模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，且AD=2BC，AD⊥CD，PA=PD，M为棱AD的中点．
（1）求证：CD∥平面PBM；
（2）求证：平面PAD⊥平面PBM．

难度：中等

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7．（2016•宁波校级模拟）如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，M分别为CC₁和A₁B的中点，A₁D⊥CC₁，侧面ABB₁A₁为菱形且∠BAA₁=60°，AA₁=A₁D=2，BC=1，
（Ⅰ）证明：直线MD∥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角B-AC-A₁的余弦值．

难度：较难

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8．已知四边形ABCD为平行四边形，BD⊥AD，BD=AD，AB=2，四边形ABEF为正方形，且平面ABEF⊥平面ABCD．
（1）求证：BD⊥平面ADF；
（2）若M为CD中点，证明：在线段EF上存在点N，使得MN∥平面ADF，并求出此时三棱锥N-ADF的体积．

难度：中等

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9．（2016•连云港模拟）如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点．
（1）求证：PB∥平面MNC；
（2）若Ac=BC，求证：PA⊥平面MNC．

难度：中等

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10．（2016•山东模拟）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF，∠BCF=
π
2
，AD=
3
，EF=2．
（1）求证：AE∥平面DCF；
（2）若BE=
3
-1，且
AB
BE
=λ，当λ取何值时，直线AE与BF所成角的大小为60⁰？

难度：中等

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