知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在极坐标系中，直线l：ρcosθ=
1
2
与曲线C：ρ=2cosθ相交于A、B两点，O为极点．
（1）求∠AOB的大小．
（2）设把曲线C向左平移一个单位再经过伸缩变换
x′=2x
y′=y
得到曲线C′，设M（x，y）为曲线C′上任一点，求x²-
3
xy+2y²的最小值，并求相应点M的坐标．

难度：较难

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2．选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
x=2-
1
2
t
y=1+
3
2
t
（t为参数）．
（Ⅰ）写出直线l与曲线C的直角坐标系下的方程；
（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换
x′=x
y′=2y
得到曲线C′设曲线C′上任一点为M（x，y），求
3
x+
1
2
y的取值范围．

难度：较难

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3．在平面直角坐标系xOy中，曲线
x=cosφ
y=sinφ
（φ为参数），经坐标变换
x′=ax
y′=by
（a＞0，b＞0）后所得曲线记为C．A、B是曲线C上两点，且OA⊥OB．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）求证：点O到直线AB的距离为定值．

难度：较难

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4．已知切线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L的参数方程为
x=1-
1
2
t
y=2+
3
2
t
（t为参数）．
（1）写出直线L与曲线C的直角坐标系下的方程；
（2）设曲线C经过伸缩变换
x′=x
y′=2y
，得到曲线C′，判断L与切线C′交点的个数．

难度：较难

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5．设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
（1）求矩阵M逆矩阵；
（2）求矩阵M的特征值及相应的特征向量．

难度：较难

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6．设A是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸缩变换所对应的变换矩阵；B是将点（2，0）变为点（
3
，1）的旋转变换所对应的变换矩阵；若M=AB；求矩阵M及M^-1．

难度：较难

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7．正弦曲线y=sinx通过坐标变换公式

X=3x

Y=2y

，变换得到的新曲线为（　　）

A．Y=2sin

B．Y=2sin3X

C．Y=

sin3X

D．Y=

sin

难度：较难

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8．在同一坐标系中，将圆x²+y²=4在伸缩变换

X=2x

Y=3y

下的方程是（　　）

A．

B．

C．4X²+9Y²=1

D．2X²+3Y²=1

难度：较难

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9．在平面直角坐标系xoy中，曲线C：
1
4
x2+x+y2-2y=-1，按伸缩变换ϕ：
x′=x+2
y′=y-1
得曲线C₁；在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂是圆心在极轴上，且经过极点的圆，已知射线θ=
π
3
与曲线C₂交于点D(1，
π
3
)．
（I）求曲线C₁，C₂的方程；
（II）若点A（ρ₁，θ），B(ρ2，θ+
π
2
)在曲线C₁上，求
1
ρ12
+
1
ρ22
的值．

难度：较难

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10．在同一坐标系中，将椭圆

=1变换成单位圆的伸缩变换是（　　）

A．φ：

x′=5x

y′=4y

B．φ：

x′=4x

y′=5y

C．φ：

x′=

y′=

D．φ：

x′=

y′=

难度：较难

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