知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，矩形OABC在变换T的作用下变成了平行四边形OA′B′C′，变换T所对应的矩阵为M，矩阵N是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的3倍所对应的变换矩阵．
（Ⅰ）求（MN）^-1；
（Ⅱ）判断矩阵MN是否存在特征值．

难度：较难

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2．若点A（a，b）（其中a≠b）在矩阵M=
cos α -sin α
sin α cos α
对应变换的作用下得到的点为B（-b，a），
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵；
（Ⅱ）求曲线C：x²+y²=1在矩阵N=
0
1
2
1 0
所对应变换的作用下得到的新的曲线C′的方程．

难度：较难

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3．已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（0，2），B（1，1），C（1，3）．若△ABC在一个切变变换T作用下变为△A₁B₁C₁，其中B（1，1）在变换T作用下变为点B₁（1，-1）．
（1）求切变变换T所对应的矩阵M；
（2）将△A₁B₁C₁绕原点O按顺时针方向旋转30°后得到△A₂B₂C₂．求△A₂B₂C₂的面积．

难度：较难

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4．设矩阵A=
.
5 3
-2 0
.
，若存在一矩阵P=
.
-1 3
1 -2
.
使得A=PBP^-1．试求：
（Ⅰ）矩阵B；
（Ⅱ）B³．

难度：较难

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5．已知a，b∈R，若矩阵M=（
-1 a
b 3
）所对应的变换把直线l：x+y=1变换为自身．
（Ⅰ）求实数a，b
（Ⅱ）若向量e₁=（
1
1
），e₂=（
1
-1
），试判断e₁和e₂是否为M的特征向量，并证明之．

难度：较难

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6．已知a，b∈R，若矩阵A=
-1 a
b 3
所对应的变换T_A把直线l：2x-y=3变换为它自身．
（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）求矩阵A的逆矩阵．

难度：较难

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7．在平面直角坐标系xOy中，设圆x²+y²=1在矩阵A=
1 0
0 2
对应的变换作用下得到曲线F，求曲线F的方程．

难度：中等

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8．已知a，b∈R，矩阵A=
-a 1
2 b
所对应的变换将直线x+y-1=0变换为自身．
①求a，b的值；
②求矩阵A的逆矩阵A^-1．

难度：中等

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9．已知二阶矩阵M=
a 1
3 d
有特征值λ=-1及对应的一个特征向量
e1
=
1
-3
．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）设曲线C在矩阵M的作用下得到的方程为x²+2y²=1，求曲线C的方程．

难度：较难

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10．已知矩阵M=
1 0
2 1
．
（Ⅰ）请写出矩阵M对应的变换f的变换公式；
（Ⅱ）从变换的角度说明矩阵M可逆吗？如果可逆，请用求逆变换的方式求出对应的逆矩阵M^-1．

难度：较难

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